Mathematik - Integralrechnung

Die Integralrechnung beschäftigt sich mit der Bestimmung von Flächen, insbesondere von Flächen unter Funktionsgraphen.

1. Eine Funktion fff hat unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur durch eine additive Konstante ccc unterscheiden.

2. Wenn FFF eine Stammfunktion von fff ist, dann ist F(x)+cF(x) + cF(x)+c auch eine Stammfunktion.

3. Umgekehrt: Zwei Stammfunktionen F1F_1F1​ und F2F_2F2​ unterscheiden sich nur durch eine Konstante ccc.

1. Das unbestimmte Integral einer Funktion fff auf einem Intervall [a;b] ist die Menge aller Stammfunktionen von fff, bezeichnet als: ∫f(x) dx\int f(x) \, dx∫f(x)dx

2. Ein Integral ohne Grenzen beschreibt eine Menge von Funktionen, während ein Integral mit Grenzen eine Zahl darstellt.

Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung verbindet das Differenzieren mit dem Integrieren. Er ermöglicht die Berechnung bestimmter Integrale und orientierter Flächeninhalte für viele Funktionen, die Stammfunktionen besitzen.

1. Bestimmung bestimmter Integrale und orientierter Flächeninhalte für ganzrationale, gebrochenrationale, trigonometrische und Wurzelfunktionen.

2. Berechnung der Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse in einem Intervall.

3. Bestimmung von Flächen, die eine Funktion zwischen ihren Nullstellen mit der x-Achse einschließt.

4. Bestimmung von Intervallen (mit Hilfe eines Parameters), in denen ein bestimmtes Integral eine vorgegebene Zahl erreicht.

1. Wenn eine Funktion f auf einem Intervall [a; c] stetig ist und F eine Stammfunktion von f ist, gilt für ein beliebiges

2. Dies erlaubt es, Flächen über Teilintervalle zu berechnen und diese zu addieren.

• Um Flächen zwischen einem Graphen und der x-Achse zu bestimmen, sind die Nullstellen der Funktion wichtig, da die Flächen durch diese Nullstellen begrenzt werden.

• Der orientierte Flächeninhalt wird mit Hilfe des Integrals berechnet und kann je nach Funktionsverhalten positiv oder negativ sein.

Flächen, die eine Funktion zwischen ihren Nullstellen mit der x-Achse einschließt, werden durch Bestimmung der Nullstellen und Integration über die Intervalle, die durch diese Nullstellen festgelegt sind, berechnet.

Das Integral addiert die orientierten Flächeninhalte so, dass der negative Flächeninhalt mit dem positiven „verrechnet“ wird.

Man berechnet entweder die Beträge der Flächen bis zur Nullstelle und addiert sie oder integriert die Betragsfunktion.

Entweder integriert man die Betragsfunktionf(x)∣, oder man berechnet die Flächeninhalte zwischen den Nullstellen der Funktion und addiert die Beträge.

Wenn die Integrationsgrenzen gleich sind, ergibt das Integral den Wert 0, da der Flächeninhalt zwischen diesen Grenzen Null ist.

Man kann die Integrale der einzelnen Teilbereiche addieren, solange die Grenzen richtig gesetzt sind.

ine Stammfunktion F(x) einer Funktion f(x) ist eine Funktion, deren Ableitung F′(x) gleich der ursprünglichen Funktion f(x)f(x)f(x) ist.

Integrieren ist das Rückwärtsdifferenzieren, das heißt, es handelt sich um die Umkehrung des Ableitens.

Integrale können addiert werden, indem man die Integrale der Teilintervalle berechnet und addiert.

1. Eine Funktion fff hat unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur durch eine additive Konstante ccc unterscheiden.

2. Wenn FFF eine Stammfunktion von fff ist, dann ist F(x)+cF(x) + cF(x)+c auch eine Stammfunktion.

3. Umgekehrt: Zwei Stammfunktionen F1F_1F1​ und F2F_2F2​ unterscheiden sich nur durch eine Konstante ccc.

1. Das unbestimmte Integral einer Funktion f auf einem Intervall [a;b] ist die Menge aller Stammfunktionen von f, bezeichnet als:

2. ∫f(x) dx\int f(x) \, dx∫f(x)dx

3. Ein Integral ohne Grenzen beschreibt eine Menge von Funktionen, während ein Integral mit Grenzen eine Zahl darstellt.

1. Das bestimmte Integral von f(x)f(x)f(x) im Intervall [0;1] ist eine Zahl, die den Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse beschreibt.

2. Das unbestimmte Integral beschreibt die Menge aller Stammfunktionen von f(x)f(x)f(x), ohne Grenzen und ohne eine konkrete Fläche zu berechnen.

1. Für eine Funktion f(x)f(x)f(x), wie die quadratische Funktion, kannst du das bestimmte Integral berechnen, indem du die Stammfunktion bestimmst, dann die Funktionswerte an den Grenzen [a;b] berechnest und die Differenz bildest.

2. Geometrische Bedeutung: Das bestimmte Integral beschreibt die Fläche unter dem Graphen der Funktion im gegebenen Intervall.

• : Der Fehler verringert sich, da die Rechtecke entlang der x-Achse immer kleiner werden und eine genauere Annäherung an die tatsächliche Fläche bieten.

• Eine größere Anzahl an Teilintervallen führt zu einer genaueren Annäherung an die tatsächliche Fläche, da die Rechtecke besser an die Kurve angepasst sind.

• Man berechnet das Integral der Funktion f(x) von a bis b, wobei das Integral den Flächeninhalt zwischen der Funktion und der x-Achse darstellt.

• Man berechnet die Summe der Rechtecke, wobei die Höhe der Rechtecke jeweils der Funktionswert an einem bestimmten Punkt im Intervall ist. Die Breite der Rechtecke ist konstant und entspricht der Länge der Teilintervalle.

: Der Grenzwert der Unter- und Obersumme ergibt den Flächeninhalt unter der Kurve und wird als Integral bezeichnet.

Das Integral ist der Grenzwert der Unter- und Obersummen, wenn die Anzahl der Teilintervalle n gegen unendlich geht. Es gibt den Flächeninhalt unter der Funktion im Intervall [a; b] an.

Das Integral ∫a^b f(x) dx stellt den Flächeninhalt unter der Funktion f(x) im Intervall [a; b] dar. Der Integrand ist f(x), die Integrationsvariable ist x, und a und b sind die Grenzen des Intervalls.

Eine stetige Funktion kann ohne Unterbrechung gezeichnet werden und hat keine „Lücken“. Das bedeutet, dass man den Graphen der Funktion ohne den Stift abzusetzen zeichnen kann.

Ein negatives Integral deutet darauf hin, dass die Funktion unterhalb der x-Achse verläuft, und der Flächeninhalt unter der Kurve als „negativ“ betrachtet wird.

Das Integral oberhalb der x-Achse ist positiv, das Integral unterhalb der x-Achse ist negativ. Das Gesamtintegral ist dann die Summe der beiden Flächen mit den entsprechenden Vorzeichen.

Man unterteilt das Intervall in kleinere Teilintervalle, berechnet die Fläche der Rechtecke unter dem Graphen und addiert die Flächen. Dies ergibt die Untersumme (niedrigerer Wert) und Obersumme (höherer Wert).

Untersumme ist die Fläche, die durch Rechtecke unterhalb der Funktion gebildet wird, während Obersumme die Fläche über der Funktion darstellt. Die Fläche der Funktion liegt zwischen diesen beiden Werten.

• Man kann das Intervall in immer mehr Teilintervalle unterteilen und so die Fläche mit immer genaueren Rechtecken approximieren.

In der ersten Minute fließt eine Menge Wasser, die der Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks entspricht. Die berechnete Fläche gibt die eingeflossene Wassermenge an.

• In den letzten 2 Minuten fließt eine Wassermenge, die der Fläche eines weiteren rechtwinkligen Dreiecks unter dem Graphen entspricht.

• Man verwendet Rechtecke, deren Flächen addiert werden, um die Fläche unter einem Graphen oder einer unregelmäßigen Form näherungsweise zu bestimmen.

• Man berechnet die Fläche unter dem Graphen der Durchflussmenge in Abhängigkeit von der Zeit. Dabei wird die Fläche in Rechtecke und Dreiecke unterteilt.

Wenn der Wasserhahn 9 Minuten lang mit einer Rate von 40 Litern pro Minute vollständig geöffnet ist, fließen insgesamt 360 Liter Wasser in den Pool. Dies entspricht der Fläche eines Rechtecks unter dem Graphen.