Raum und Form, Größen und Messen, Muster und Strukturen

• räumliche Beziehungen erkennen und beschreiben

• verlauf von Wegen verfolgen und Wege nach Beschreibung gehen

• frei, nach Vorlage und Vorgabe bauen

• Ebene Figuren (Viereck, Dreieck, Kreis) erkennen, benennen, beschreiben, untersuchen und herstellen

• Körper erkennen, benennen, beschreiben und sortieren

• Würfel und Kugel herstellen

• ein­fa­che, ach­sen­sym­me­tri­sche Fi­gu­ren her­stel­len (zum Bei­spiel le­gen, fal­ten, dru­cken, schneiden

• die Ach­sen­sym­me­trie ein­fa­cher, ebe­ner Fi­gu­ren er­ken­nen (zum Bei­spiel mit­hil­fe des Spie­gels und Fal­tens)

• ein­fa­che geo­me­tri­sche Mus­ter er­ken­nen, be­schrei­ben, fort­set­zen und selbst ent­wi­ckeln (zum Bei­spiel mit Plätt­chen le­gen, mit Scha­blo­ne zeich­nen)

·         Flä­chen mit un­ter­schied­li­chen For­men le­gen, aus­le­gen und ver­glei­chen (zum Bei­spiel Flä­chen mit Qua­dra­ten, Recht­ecken und Drei­ecken aus­le­gen)

·         Flä­chen­in­hal­te durch das Aus­le­gen mit Ein­heits­qua­dra­ten zäh­lend be­stim­men

• räumliche Beziehungen erkennen, beschrieben und nutzen, zusammenhänge erkennen und Persepektiven wechseln

• räumliche Konfigurationen vorstellen und im Kopf operieren (falten zerlegen…) und so geometrische Probleme lösen

• Frei Hand und mit Hilfsmitteln zeichnen

• Ebene Figuren, erkennen, benennen, beschreiben, untersuchen, sortieren, herstellen und zeichnen (Recjteck , Quadrat, Dreieck, Kreise)

• Körper, erkennen und benennen, beschreiben, untersuchen, sortieren und herstellen (Quader, Würfel, Kugel, Zylinder)

• Quader und Würfelnetze herstellen, zeichnen und untersuchen

• achsensymmetrische Figuren herstellen, erkennen, beschreiben und nutzen

• vorgegebene Figuren zu symmetrischen Figuren ergänzen

• geometrische Muster erkennen, beschrieben und fortsetzen

·         den Um­fang ebe­ner Fi­gu­ren han­delnd be­stim­men und un­ter­su­chen (zum Bei­spiel mit Fa­den, Li­ne­al, durch Ab­zäh­len)

·         den Flä­chen­in­halt ebe­ner Fi­gu­ren durch Aus­le­gen mes­sen, be­stim­men und durch Zer­le­gen ver­glei­chen

·         den Raum­in­halt von Kör­pern ver­glei­chen (zum Bei­spiel durch Um­fül­len) oder mit­tels Ein­heits­wür­feln be­stim­men

-    Förderung räumlich-visueller Fähigkeiten

-    Alltagsbezug und Umwelterschließung

-    Zugang zu arithmetischen Konzepten

-    Möglichkeit zu entdeckendem Lernen & Kreativität

-   Inhalte werden über alle Schuljahre hinweg wiederholt – mit zunehmender Tiefe und Abstraktion

o   z. B. Würfel: erkennen (Kl.1) → beschreiben (Kl.2) → bauen (Kl.3) → Netze (Kl.4)

Die Lernumgebungen sollen…

-      über Gegenstand und Sinn verfügen

-      Raum zum Artikulieren und kommunizieren bieten

-      natürliche Differenzierung bereithalten

-      logische Gesichtspunkte

-      Möglichkeit der Evaluation

-      Vernetzung mit anderen mathematischen Inhalten, Darstellungen oder Argumentationsformen

Wahrnehmungsarten:

-    taktile Wahrnehmung

-    Kinästhetische und vestibuläre Wahrnehmung

-    Auditive Wahrnehmung

-    Visuo-motirsiche Koordination

-    Figur-Grund-Unterscheidung

-    Wahrnehmungskonstanz

-    Wahrnehmungen räumlicher Beziehungen und der Raumlage

-    räumliche Orientierung

-    räumliches Operieren (Drehen, Falten, …)

-    räumliche Veranschaulichung

-    mentale Rotation

Relevants der Raumvorstellung:

-      Raumvorstellung im Alltags und Berufsleben (z.b. Orientierung im Straßenverkehr)

-      Raumvorstellung in der Grundschule (z.b.  Umwelterschliesung im Sachunterricht)

-      Raumvorstellung im Geometrieunterricht

-      Raumvorstellung kann mathematische Leistungen in andern Bereichen des Mathematikunterrichts steigern

-      1: das sensorische Stadium (geburt bis 2 Jahre)

-      2: das präoperationale Stadium (ca.2 bis 7 Jahre)

-      3: das konkret-operationale Stadium (ca.7 bis 11 Jahre)

-      4: das formal-operationale Stadium (ca.11 bis 16 Jahre)

Kritische Anmerkungen zu den Studien Piagets:

-      Nicht hinreichend empirisch abgesichert

-      Versuche in Papier-Bleistift Umgebung (Laborgeruch)

-      Altersangaben von Piaget umstritten

-      Starke verbale Komponente der Textaufgaben (Freudenthal 1973)

-      Untersuchungsergebnisse stark von Aufgabenstellung abhängig

Entweder Vorgabe der Aufgabenstellung durch:

-      A:        materiales Objekt

-      B:        Schrägbild

-      C:        Ein-,Zwei- oder Dreitafelprojektionen

-      D:        Netz, Abwicklung, ebene Kurven- oder Flächenstücke

-      E:        rein Sprachlich

Oder durch Vorgabe des Ziels durch:

-      1          die mögliche Gestalt einer Figur

-      2          Lagebeziehungen zwischen Teilfiguren

-      3          metrische Beziehungen

-      4          Abbildungen

-      5          Zerlegungen oder Zusammensetzen von Körpern und Flächen

-      6          Darstellung in einer anderen Repräsentationsform

-   Objektbegriffe (Dreieck, Würfel)

-   Eigenschaftsbegriffe (eckig, gleichlang)

-   Relationsbegriffe (liegt auf, neben)

-   Abbildungsbegriffe (spiegeln, drehen)

-   Maßbegriffe (Länge, Fläche, Volumen)

-    Realdefinition (Oberbegriff + Merkmal)

-    Konventionaldefinition (Bedingungen)

-    Genetische Definition (über Konstruktion)

-    Verwendung von Alltagserfahrungen und Modellen

1. Visualisierung (Erkennen von Figuren)

2. Analyse (Erkennen von Eigenschaften, begründete Klassifizierung)

3. Abstraktion (Beziehungen erkennen, Klasseninklusion)

4. Deduktion (Schlussfolgerndes Denken)

5. Abstrakt-metamathematisches Denken (differenzierte Arbeit mit Axiomen, Definitionen und Sätzen)

-      Niveaus sind nicht altersabhängig

-    Legen, Falten, Spannen, Zeichnen

-    Eigenschaften beschreiben (Seiten, Ecken, Winkel, parallel, senkrecht)

-    Tangram, Postkartenpuzzle usw.

-      Das Falten entlang der Diagonalen zu einer Ecke

-      Das Falten entlang der Mittellinie

-      Das Falten einer Seite zur Mittellinie

-      Das Falten einer Ecke zum Mittelpunkt

-      Das Falten einer Ecke zu einer Seite

Kategoriensuchendes Vorgehen:

-      Kinder erhalten verschiedene Geometrische Körper

-      Kinder sollen diese selbstständig in Gruppen sortieren

-      Kinder sollen Gruppen Bildung begründen.( daraus geometrische Eigenschaften bilden)

Kategoriengeleitetes Vorgehen:

-      Kinder erhalten verschiedene Geometrische Körper

-      Lehrer gibt vor wie sortiert werden soll (bsp. Anhand eines Modells/Abbildung/Begriffs Wort oder Merkmal

-      Freies bauen

-      Bauen nach vorgegebenem Thema

-      Nachbauen vorgegebener Bauwerke

-      Nachbauen nach Abbildung als Schrägbild oder Bauplan

-      Nachbauen nach verbalen Beschreibungen

-      Nachbauen nach Ertasten

-      Umbauen, Umordnen und Verändern

Bauen mit Würfeln:

-      Anzahlen in Würfelgebäuden

-      Zahlenfolge in Würfelbauwerksserien (ähnliche Bauwerke)

-      Bauen mit gestalteten Würfeln (bunt eingefärbten Würfeln)

-      Würfelpuzzle mit limitierter Beweglichkeit der Einzelelemente (Flexpuzzel, Klappwürfel)

-      Würfelmehrlinge

-      Bauen nach bauplan

Vollkörper:

-      Kaufen

-      Aus Karotten, Kartoffeln, Holz selbst ausschneiden. (recht schwierig)

-      durch halbieren können auch andere Körper erstellt werden

Kantenmodell:

-      Bausets kaufen (Nachteil recht teuer)

-      Aus Knete (besonderst Knete eignet sich bei anderen nicht Prismen), Holzspießen, Strohhalmen, Pappstreifen oder selbstgemachten Papierecken selbst bauen

-      Fragen wie: ja müssen immer 3 Hölzchen in eine Ecke zusammentreffen?, muss die Grundfläche immer ein Viereck sein?

Flächenmodelle:

-      Abrollen und umfahren

-      abwickeln und aufrollen

-      verpacken

1.      Formaspekt (besteht aus 2 spiegelbildlich zueinander liegenden Hälften)

2.      Algebraischer Aspekt (?)

3.      Ästhetischer Aspekt (Achsensymmetrie ist eine ästhetische Urerfahrung)

4.      Ökonomisch-technischer Aspekt (achsensymmetrische Lösungen bieten sich an um Kraft, Arbeit und Aufwand zu minimieren)

5.      Arithmetischer Aspekt (gerade zahlen lassen sich durch Achsensymmetrische Doppelreihen darstellen)

-      Diskriminierende Analyse verschiedener achsensymmetrischer Figuren

-      Benennung gemeinsamer Eigenschaften

-      Fähigkeit, Symmetrieeigenschaften auch verallgemeinert erläutern zu können

Zugänge zur Symmetrie:

-      Figuren legen

-      Falten

-      Falten und schneiden

-      Spiegel

-      Klecks- und Pausbilder

-      Zeichnen

-      Woche 1-11: Sich im Raum orientieren, Lagebeziehungen, Wege gehen, Bauen, Flächen legen, auslegen und vergleichen

-      Woche 12-15: Ebene Figuren, Kreis, Dreieck, Viereck, Vorerfahrungen, wo in Umwelt, legen, schneiden, falten, Zeichnen

-      Woche 21-22: Körper, Würfel und Kugel, Vorerfahrungen, wo im Alltag, Begriffe Ecke, kante, Fläche, bauen, herstellen, Bauwerke beschreiben

-      Woche 6,5-7: Achsensymmetrie in der Umwelt, durch Fakten drucken, legen, schneiden, spiegeln herstellen

-      Woche 17: Körper in Erfahrungswelt wahrnehmen und Dokumentieren

-      Woche 21-22: Flächen auslegen, Flächeninhalte durch das Auslegen bestimmen

-      Woche 7-8: Figuren in Umwelt finden Quadrat, Rechteck, kreis, Dreieck, herstellen und zeichnen, Figuren auf Symmetrie überprüfen, mehrere Achsen

-      Woche 18-19: Würfel in Erfahrungswelt, Eigenschaften, Würfelnetze, Würfelgebäude bauen

-      Woche 6-7: Körper kennen, Bennen, beschrieben, untersuchen, herstellen, Würfel und Quadernetzte

-      Woche: 13-14: Flächen auslegen mit nicht standardisierten formen und mit einhietsquadraten, Umfang handelnd und zählend bestimmen, vergleichen

-      Woche 22-23: Rauminhalte messen

-      Woche 26-27: Zeichnen von ebenen Figuren, mit Lineal, Kreisel, räumliche Konfigurationen in verschiedenen Positionen beschrieben

• Geobrett

• Würfel

• Körpermodelle

• Ebene Figuren

• Spiegel

• Zeichngeräte (Lineal, Geodreieck, Zirkel)

• Körpernetze

• andere Bastelmaterialien

-    Figuren werden ganzheitlich erkannt, aber nicht analysiert (z. B. „ein Viereck hat immer vier gleich lange Seiten“ → Quadrat = Viereck, aber Rechteck wird nicht erkannt)

-    Symmetrieachsen falsch eingezeichnet, z. B. diagonal bei Rechtecken

-    Körperformen werden nach Aussehen, nicht nach Eigenschaften sortiert (eine Konservendose wird nicht als Zylinder erkannt, weil sie beschriftet ist)

-    Räumliche Perspektiven werden verwechselt (z. B. Seitenansicht vs. Draufsicht)

-    Flächen- und Raumbegriffe werden vermischt (Würfel = Quadrat)

-    Fehlende Invarianzvorstellung: Veränderte Lage = veränderter Begriff („Das Dreieck liegt auf der Spitze, also ist es kein Dreieck mehr“)

-    Flächeninhalt mit Linienlänge verwechselt („Das größere Quadrat hat mehr Umfang, also auch mehr Fläche“)

-    Fehlvorstellungen als Lernchancen nutzen („Du denkst, das ist kein Rechteck, weil es liegt? Lass uns mal schauen...“)

-    Gezielte Konfrontation mit Gegenbeispielen (z. B. verschiedene Dreiecke zeigen und diskutieren)

-    Sprachlich begleiten und strukturieren, z. B. durch „Ich-Du-Wir“-Gespräche

-    Anschlussfähige Denkangebote machen statt zu korrigieren („Kann es auch anders sein?“)

-    Reflexion anregen: Figuren legen, bauen, zeichnen – und dann beschreiben lassen

-    Handlungsorientierung: Legen, Falten, Bauen mit vielfältigen Materialien

-    Sprachliche Förderung: Begriffe einführen, vergleichen, begründen lassen

-    Vielfältige Repräsentationswechsel: Bild ↔ Figur ↔ Beschreibung ↔ Handlung

-    Arbeiten mit Kontrasten: typische vs. untypische Vertreter einer Figur

-    Visualisierungsübungen: Geobrett, Tangram, Perspektivwechsel, Netze

-    Kopfgeometrie üben: durch gedankliches Operieren (spiegeln, rotieren, falten)

-    Peer-Interaktionen ermöglichen: Kinder erklären sich gegenseitig Aufgaben

- Substanzielle Aufgabenformate (zum Beispiel Zahlenmauern, Rechenketten, Zauberdreiecke, strukturierte Päckchen) ermöglichen – durch operative Veränderungen – das Entdecken von Mustern

-  Ziffern ändern ihren Wert in Abhängigkeit von der Stelle

- arithmetische Muster kennenlernen

- erkennen, beschreiben, fortsetzen und selbst entwickeln bzw systematisch verändern

3.1.2.3 Einfache geometrische Abbildungen erkennen und benennen

- Achsenspiegelung, eigene Muster und erkennen zunehmend Muster in ihrer Erfahrungswelt. Das gezielte Suchen und Beschreiben von Mustern sensibilisiert sie in ihrer Wahrnehmung.

(3) einfache geometrische Muster erkennen, beschreiben, fortsetzen und selbst entwickeln (zum Beispiel mit Plättchen legen, mit Schablone zeichnen)

3.1.4 Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

(1) Daten durch Beobachtungen sammeln (zum Beispiel „Unsere Schule“, „Unser Ort“, Freizeitbeschäftigungen) und strukturiert darstellen (zum Beispiel mit Strichlisten, Tabellen  oder einfachen Diagrammen)

- Mit Varianten geeigneter Zahlenfolgen das Entdecken von arithmetischen Mustern fördern

- Substanzielle Aufgabenformate wie Zahlenmauern, Rechenketten, Rechendreiecke,  strukturierte Päckchen, ... ermöglichen durch  operative Veränderungen das Entdecken von Mustern

- Schriftliches rechnen

3.2.2.2 Geometrische Figuren erkennen, benennen und darstellen

(1) Linien, ebene Figuren und Muster frei Hand und mit Hilfsmitteln zeichnen (zum Beispiel Lineal, Schablone, Geodreieck, Zirkel)

3.2.2.3 Einfache geometrische Abbildungen erkennen, benennen und darstellen

(5) geometrische Muster erkennen, beschreiben und fortsetzen sowie systematisch verändern und selbst entwickeln (zum Beispiel Bandornamente, Parkettierungen)

-   To do mathematics

-   Prozeduren, die durchführbar sind

-   Gleichungen, Rechnungen, Anzahlerfassungen

-   To think about mathematics

-   Konzepte, Beziehungen zwischen Zahlen, Objekten und Variablen

-   Eigenschaften von Zahlen und Operationen

-   Regelmäßigkeit in sichtbaren Phänomenen

-   Ordnung, Regelmäßigkeit und Wiederholung, denen eine Vorhersehbarkeit bescheinigt wird

-   Öffnen die Tür zu Strukturen

-   Räumliche Muster (räumliche Regelmäßigkeit, Rechenrahmen, Würfelbild)

-   Sich wiederholende Musterfolgen (Paketierung, Bandornamente)

-   Wachsende Musterfolgen (1,2,3,4,5, …)

-   Mathematische Eigenschaften und Relationen

-   Beziehen sich auf Merkmale und Eigenschaften, die für jegliche Fälle konstant bleiben

-   Bildet die Grundlage von Mustern

-   Kommen eigentlich nur in Theorie vor, werden in Realität hineingelesen

-   Übergreifendes Prinzip, integriert in alle Leitideen

-   Meint das Erkennen, Beschreiben und Darstellen von Gesetzmäßigkeiten und funktionalen Beziehungen

-   ZuO: Rechengesetze erkennen, erklären und nutzen

-   GuM: Standardeinheiten kennen und diese im jeweiligen Größenbereich zueinander in Bezug setzen

-   RuF: geometrische Abbildungen in der Umwelt oder in Mustern beschreiben

-   DuZ: Einfache kombinatorische Fragestellungen durch systematisches Vorgehen oder mit Hilfe von heuristischen Mustern lösen

-   tragfähige Werkzeuge für den Erwerb math. Konzepte

-   Wichtig, um Mathematik zu verstehen

-   Zusammenhang zwischen Struktur erkennen und späterer Rechenleistung

-   Re recognize: Sehen, Hineindeuten

-   Co continue: replizieren, nutzen, fortsetzen, Analogien erkennen, transferieren

-   D describe: mündlich oder schriftlich kommunizieren

-   E explain: argumentieren, erklären, verallgemeinern

-   Bei Bearbeitung von Aufgaben sollen Kinder alle Phasen durchschreiten

-    „Struktursinn“: Leichtigkeit und Beweglichkeit im Umgang mit Mustern und Strukturen

-    Wiedererkennen

-    Aufteilen in Teile (Struktureinheiten)

-    Beziehungen und Zusammenhänge erkennen

-    Ziel: Kinder erkennen in Zahlbildern, Musterfolgen und Anschauungsmaterialien Strukturen, erforschen und reflektieren diese Muster

Bandornamente sind Figuren, in denen ein Motiv nach beiden Seiten mit jeweils gleichem Abstand periodisch widerholt wird. Die Grundfigur ist dabei der kleinste teil. Es gibt sieben verschiedene Typen von Bandornamenten:

Aktivitäten:

-      Bandornamente in der Umwelt suchen und ihre Regelmäßigkeit beschreiben

-      Motive in Bandornamenten erkennen und durch Färben hervorheben

-      Bandornamente weiterzeichnen, abzeichnen oder Lücken ergänzen

-      Bandornamente aus Grundmotiven selbst herstellen

-      Legen von Bandornamenten (mit Regeln) z.B. zunächst aus Dreiecken

-      Zeichnungen von Bandornamenten erstellen

-      Bandornamente durch Faltschnitte erstellen

-   das vollständige abdecken der Ebene mit kongruenten Ausgangsfiguren, ohne dass Lücken oder Überlappungen entstehen.

-   Pakete mit regelmäßige Figuren (gleichseitige Dreiecke, Quadrate, regelmäßige Sechsecke) nennt man platonische oder regelmäßige Paketierung.

-   Kommen in einem Parkett 2 oder 3 Sorten Kongruenter regelmäßiger Polygone vor, die in den Ecken der Polygone auf jeweils gleicher Weise zusammenstoßen, Erhält man archimedische Parkette.

• Legeplättchen in verschiedenen Farben/Formen

• Körpermodelle

• Bildkarten oder einfache Legefelder

• Zahlenstrahl (für Muster in Schritten),

• Rechenschiffchen (für strukturierte Darstellung von Zahlen).

• Hundertertafel, Hunderterfeld, Rechenquadrate

• Dienes-Material (für Stellenwertstrukturen),

• Zahlenkarten, Operationskarten

• Pfeildiagramme, Zahlenfolgen auf Tabellen, Zahlenmaschinen,

• Würfelnetze oder geometrische Muster

-   Rein visuelle Fortsetzungen ohne Regelverständnis

-   Fehlendes Regelbewusstsein

-   Zählendes statt strukturierendes Denken

-   Schwierigkeiten mit Symbolisierung

-   Fehler als Lernchancen nutzen, Fehlermuster aufgreifen, Begründungen einfordern, Vergleiche anbieten

-   Repräsentationswechsel anregen

-   Denkstrategien sichtbar machen

-   Beobachtung

-   Gespräche und Reflexion

-   Diagnoseaufgaben (Halboffene Aufgaben, Fehlerhafte Muster, Strukturanalyseaufgaben)

-   Differenzierte Aufgabenstellung

-   Unterstützende Materialien

-   Sprachförderung

-   Kleingruppen- und Partnerarbeit

-   Geldwerte, Längen und Zeit handelnd vergleichen, ordnen

-   Mit nichtstandardisierten und standardisierten Größeneinheiten messen

-   Größeneinheiten unterscheiden und wert bestimmen (zb. Zentimeter und Mter)

-   Uhrzeit ablesen und Zeitspannen bestimmen

-   Stützpunktvorstellungen aufbauen und für Schatzaufgaben nutzten

(1) un­ter­schied­li­che Ge­rä­te zum Mes­sen von Län­gen sach­ge­recht be­nut­zen (zum Bei­spiel Li­ne­al, Me­ter­stab, Band­maß)

(2) Grö­ßen­an­ga­ben aus Dar­stel­lun­gen ih­rer Er­fah­rungs­welt ent­neh­men, do­ku­men­tie­ren und deu­ten (Ta­bel­le, Bil­der, ein­fa­che Tex­te)

(3) ein­fa­che Sach­pro­ble­me mit Grö­ßen aus ih­rer Er­fah­rungs­welt lö­sen

(4) ei­ge­ne Sach­auf­ga­ben mit Grö­ßen er­fin­den

-   Größen handelnd vergleichen und mit geeigneten Einheiten messen

-   Größenangaben umwandeln und in verschiedenen Schreibweisen darstellen

-   Einfache alltägliche Bruchzahlen verwenden

-   Stützpunktvorstellungen kennen, zuordnen und nutzten

-   Unterschiedliche Messgeräte sachgerecht nutzten

1) wich­ti­ge Be­zugs­grö­ßen aus ih­rer Er­fah­rungs­welt zum Lö­sen von Sach­pro­ble­men her­an­zie­hen

2) Grö­ßen­an­ga­ben aus Dar­stel­lun­gen der rea­len Welt ent­neh­men, do­ku­men­tie­ren und deu­ten (Ta­bel­le, Bil­der, Tex­te)

(3) Sach­pro­ble­me aus ih­rer Er­fah­rungs­welt lö­sen und da­bei auch pas­sen­de Nä­he­rungs­wer­te ver­wen­den, Grö­ßen be­grün­det schät­zen, Er­geb­nis­se auf Plau­si­bi­li­tät über­prü­fen

(4) in Sach­si­tua­tio­nen funk­tio­na­le Be­zie­hun­gen er­ken­nen, auf an­ge­mes­se­ne Wei­se dar­stel­len (zum Bei­spiel Ta­bel­le, Dia­gramm) und un­ter­su­chen

(5) pro­por­tio­na­le Be­zie­hun­gen zur Lö­sung ein­fa­cher Sach­pro­ble­me ein­set­zen

(6) ei­ge­ne Sach­auf­ga­ben er­fin­den

-   Eigenschaften eines Objekts

-   Objektiv messbar, quantifizierbar

-   Durch Repräsentanten wahrnehmbar

-   Größenangaben durch Maßzahl und Maßeinheit

-   Längen, Geld, Zeit, Gewicht, Rauminhalt

-   Herzstück im Aufbau eines Größenverständnisses

-   Vergleich des zu messenden Objekts mit einer als Maßeinheit gewählten Größe der gleichen Art

-   Messergebnis: Maßzahl und Maßeinheit

Direkter Vergleich

-   Repräsentanten werden direkt, ohne Mittler, miteinander verglichen

-   Nicht immer möglich

Indirekter Vergleich

-   Repräsentanten werden mit Hilfe eines Mittlers miteinander verglichen

-   Mittler ist entweder standardisiert oder nicht standardisiert

-   Auswahl einer geeigneten Einheit

-   Mehrfaches sachgerechtes Verwenden der Einheit

-   mehrfaches Anlegen der Maßeinheit (vervielfachen), paralleles Mitzählen, lückenlos und überlappungsfrei

-   Zerlegen der Einheit in eine Untereinheit

-   Messgerät nicht am Nullpunkt angelegt

-   Messgerät mit nicht nur Skalen im metrischen System

-   Messgerät ohne Maßzahl

-   Messgerät für zu messendes Objekt ungeeignet

-   Man kann Größen der selben Art vergleichen

-   Man kann Größen addieren

-   Man kann Größen vervielfachen

-   BSP: „Wenn a kürzer ist als b und b kürzer ist als c, dann ist auch a kürzer als c."

-   Übergangsstadien: intuitives Anwenden der Transitivitätsrelation, ohne dies verbalisieren zu können

-   Unveränderbarkeit

-   Übergangsstadien, in welchen Invarianz noch nicht stabil erkannt wird

-   Verständnis von Invarianz: Entwicklung, je nach Größenbereich, zeitlich unterschiedlich

-   Aufbau von Vorstellungen über Größen & deren Anwendung + Bedeutung

-   fachliches Wissen über Größen zum Lösen authentischer Fragen nutzen

-   Mit geeigneten nichtstandardisierten und standardisierten Einheiten in Größenbereichen schätzen, vergleichen und messen

-   Typische Repräsentanten für standardisierte Maßeinheiten kennen

-   Erstes Rechnen mit Größen

-   Größenangabe in benachbarte Einheiten umwandeln

-   Längen

-   Zeitspannen

-   Flächeninhalte

-   Rauminhalte

-   Massen (Gewichte)

-   Geldwerte

Alle außer Geldwerte: standardisiert, physikalische Größen. Geld Sonderfall, variiert

-   Längen (cm, m)

-   Zeitspannen (Stunden, Minuten, Tag, Woche, Monat, Jahr)

-   Geldwerte (Euro, ct)

-   Geld als erstes (nach Weihnachten)

-   Längen (km, mm)

-   Zeitspannen (Sekunden)

-   Flächeninhalte (Einheitsquadrate)

-   Rauminhalte (l, ml)

-   Massen (Gewichte) (t, kg, g)

-   Vertraut durch alltägliche Erfahrungen (z. B. Körpergröße messen)

-   Leicht visuell erfassbar und für Kinder verständlich dank Eindimensionalität

-   Nähe zu mathematischen Darstellungen (z.B. Zahlenstrahl) erleichtert das Lernen

-   Basis für das Verständnis anderer Größenbereiche wie Zeit (z.B. Zeitleiste) und Gewicht (analoge Waage)

-   Vermittlung ohne Bezug zur Multiplikation → Einheitsflächen

-   Neben Einheitsflächen auch die Verwendung von Alltagsobjekten wie DIN-A4-Papier oder Handflächen

-   Verständnis der Invarianz des Flächeninhalts und der Notwendigkeit von Einheitsmaßen

-   Flächen werden durch Zerlegen und Auslegen verglichen

-   Visuell wahrnehmbare Größe

-   Aufgrund der Dreidimensionalität komplexer

-   Verknüpfung zwischen den Leitideen von Raum und Form sowie Größen und Messen

-   Unterscheidung zwischen Hohl- und Vollkörpern (Fassungsvermögen vs Volumen)

-   Unterscheidung Zeitpunkt und Zeitspanne

-   Zeitspanne grundlegende Größe

-   Zeitpunkte sind Skalenwerte auf einer Messskala

-   Zeitspanne nicht visuell wahrnehmbar → stark subjektiv

-   Gleiche Uhrzeiten werden unterschiedlich benannt

-   Doppelte Uhrzeiten (Tag in zwei Hälften aufgeteilt)

-   Zeitspannen als zyklische und lineare Vorstellung

-   Einheiten sind nicht dekadisch und nicht regelmäßig aufgebaut

-   Gibt Eigenschaft eines Gegenstandes an

-   Ergibt sich durch Abhängigkeit von Volumen und Dichte des Gegenstandes

-   Schwierig Unterschiede zu erspüren (geringe Massenunterschiede)

-   Visuell nicht erfassbar → wenig zugänglich

-   Umrechnungsfaktor bei allen Einheiten gleich

-   Schwierig zu schätzen

-   Direkter Vergleich von Massen nur begrenzt möglich

-   Zahlgröße → keine Messgröße, daher können keine Messerfahrungen gemacht werden

-   Nicht objektiv messbar

-   Keine standardisierte Maßeinheit (Da verschiedene Währungen)

-   Verschiedene Bündelungen (Scheine)

-   Unterscheidung Anzahl und Wert

-   Gibt keine Messinstrumente

Stützpunktwissen

-   bereits erlerntes, rein theoretisches Wissen über standardisierte Maße

-   Bsp.: Mehlpackung als Repräsentant für 1kg

Stützpunktvorstellungen

-   realistische, alltagstaugliche Vorstellungen zu Größen und Größenbegriffen

-   mentale Bilder/Transformationen

-   Baut sich erst mit Anwendung und im Umgang auf

-   Bsp.: Nutzung der Vorstellung des Gewichtes einer Mehlpackung zum Schätzen des Gewichtes eines anderen Gegenstandes

-   Erfahrungen sammeln/aufgreifen

-   Direktes vergleichen von Repräsentanten

-   Indirektes Vergleichen mit selbstgewählten Einheiten

-   Indirektes Vergleichen mit standardisierten Maßeinheiten

-   (Aufbau von Stützpunktvorstellungen)

-   Umwandeln

-   Rechnen mit Größen

-   Zentrale Rolle im Unterricht

-   Repräsentanten zu den Standardeinheiten kennen

-   Stützpunktvorstellungen aus dem Alltag der Kinder entwickeln

-   Schätzaufgaben

-   Grundständige Schätzaufgaben (fordern, Anzahl oder Größe zu schätzen-> Wie lang ist diese Schnur?)

-   Eingebettete Schätzaufgaben (komplexe Sachsituationen, Fermiaufgaben -> Schätzwissen und allgemein Wissen erforderlich)

-   überlegte und begründbare Aussage auf die ungefähre Anzahl oder Größe vorgegebener Objekte

-   Qualitativ (Vergleich -> die schnur ist länger als die andere)

-   Quantitativ (eine Zahl/Größe angeben)

-   gedanklicher Vergleich

-   gedankliches Ausmessen

-   zerlegen und zusammensetzen

-   einschachteln

-   Aufgabentypen, die sich eignen, um die Fähigkeit des Schätzens und das Wissen rund um Maßeinheiten, Messinstrumente und Messstrategien bei Kindern zu fordern und zu fördern

-   zunächst unlösbares Problem

-   fehlende Informationen aus Annahmen, Alltagssituationen, durch Schätzen, Vermuten, Überschlagen, Nachschlagen oder das Befragen von Experten

-   fordert oft das Rechnen mit großen Zahlen sowie Umrechnen von Größen

-   keine eindeutigen Angaben, Lösungswege, Ergebnis

-   gefundene Lösung muss plausibel begründet, verglichen & bewertet werden, Vorgehensweisen müssen erklärt werden

-   Woche 16-17: Geld, Vorerfahrungen, Wertigkeit der Münzen/Scheine bestimmen, benennen, ordnen und wechseln, Beträge bestimmen, Sachaufgaben, Sachsituationen

-   Woche 8-10: Längen, direkt vergleich, mit nicht standartiserten und standasrtisierten dingen Messen, Meter und Zentimeter unterscheiden, Repräsentanten finden, in Sachsituationen anwenden

-   Woche 23-25: Zeit, Tagesablauf, Minuten, Stunden, Tag,…, Uhrzeit volle Stunde à 24 Stundensystem, Sachaufgaben zu Zeit aus Erfahrungswelt

-   Woche 9-11: Längen, mm, cm, m, km, Messen, vergleichen, Kommaschreibweise, Stützpunktvorstellungen, aufbauen zu Größen, Längen im Alltag, Wandertag, Flugstrecke,…, Hilfsmittel wie Tabellen oder Zeichnungen nutzten

-   Woche 9-10: Längen, Vorerfahrungen, wechselseitig Übersetzten, Sachaufgaben lösen und veranschaulichen

-   Woche 17-18: Gewichte handelnd vergleichen, indirekt direkt, schätzen, Messgeräte verwenden, Stützpunktvorstellungen, Sachaufgaben

-   Messinstrumente für Längen (Lineal, Meterstäbe, Maßbänder, Schüre,…)

-   Spielgeld

-   Analoge und digitale Uhren

-   Zeitkarten

-   Sanduhren

-   Verschiedene Waagen

-   Alltagsgegenstände für Stützpunkt Vorstellungen

-   Messbecher, Einheitswürfel, Hohlkörper

Längen

-   Verwechslung von Länge und Position (z. B. „Das Lineal zeigt 5“ → Kind meint Position, nicht Strecke)

-   Messen ohne Anfang bei 0

-   Fehler beim Umgang mit Maßeinheiten (cm ↔ m)

-   Nichtlinearer Maßstab: gleiche Abstände werden nicht als gleich groß erkannt

Geld

-    Schwierigkeiten mit Umrechnung zwischen € und Cent

-    Geldwerte werden nicht additiv erfasst (z. B. 2 Münzen zu 50 Cent = 100 Cent wird nicht erkannt)

-    „Größerer Schein = mehr Geld“ (visuelle Fehleinschätzung)

Zeit

-    Analoge Uhr schwer lesbar (Verwechslung kleiner/großer Zeiger)

-    Zeitspannen können nicht abgeschätzt werden („1 Stunde = 100 Minuten?“)

-    Falsche Begriffe für Tageszeiten

Masse / Volumen

-    Repräsentanten fehlen: 1 kg oder 1 l kann nicht sinnvoll geschätzt werden

-    „Schwerer = größer“ oder „größer = schwerer“ als intuitive Fehlschlüsse

-    Keine Vorstellung für Messskalen (z. B. ml, g)

-   Fehlvorstellungen sichtbar machen (z. B. durch Gespräche oder Fehlbeispiele)

-   Kontrastierungen nutzen (z. B. zwei gleich große Dinge mit unterschiedlichem Gewicht)

-   Kinder zur Begründung auffordern („Warum denkst du das?“)

-   Selbsttätiges Überprüfen ermöglichen (Messen, Umfüllen, Wiegen)

-   Repräsentanten einführen (Alltagsbezug: Butter, Tafel Schokolade, Saftflasche)

-   Ergebnisse immer auch auf Plausibilität reflektieren lassen

-    Handlungsorientiertes Messen mit realen Gegenständen

-    Nichtstandardisierte Maßeinheiten zuerst nutzen (Handspanne, Fußlänge …)

-    Größenvorstellungen systematisch aufbauen durch Stützpunktgrößen

-    Messgeräte gezielt einführen und üben (z. B. wie liest man ein Lineal richtig?)

-    Schätzstationen einrichten (Was wiegt ...? Wie lang ist ...?)

-    Tagespläne und Uhrzeiten mit Alltag verbinden (z. B. Wann beginnt die Pause?)

-    Sortier- und Zuordnungsaufgaben (Was ist schwerer? Was dauert länger?)

-    Maßeinheiten umwandeln üben mit Anschauung und Bezug zur Lebenswelt