FDM/FVM/Zeitintegration(ZI)

by Julian P.

(FDM) Welche Erhaltungsgleichungen werden bei der Finite Differenzen Methode gelöst und wie sieht das Gleichungssystem aus?

Navier Stokes Gleichungen in der Differenzialform; gekoppeltes, nichtlineares Gleichungssystem mit 1. und 2. Ableitung im Raum und 1. Ableitung in der Zeit

(FDM) Welche Größen sind wie/wo in der FDM gespeichert?

Feldgrößen (p, roh, T, u,…) sind an den Gitterpunkten gespeichert.

(FDM) Wie leitet man Differenzausdrücke über Taylor her?

Leite ein CDS mit Taylor her, welches immer 2. Ordnung genau ist.

Wie lassen sich FDS und BDS herleiten?

Taylorentwicklung über den linken und rechten Punkt -> umstellen und zusammenfügen

Für einseitige Verfahren: Taylor Polynom für z.B. 2 linke Stützstellen auswerten und umstellen

(FDM) Wie leitet man höhere Ableitung mit dem Taylor Polynom her und nennen Sie ein CDS für die 2. Ableitung. Wie lässt sich die 2. Ableitung auch interpretieren?

Wie erste Ableitung: Taylor Polynom für den linken und rechten Punkt aufstellen und zusammenfügen, so dass die erste Ableitung herausfällt.

Alternative Interpretation: CDS erster Ordnung von 2 Ableitungen von 2 Zwischenstellen, die wiederum durch CDS erster Ordnung der Stützstellen berechnet werden.

(FDM) Was für Gitter werden bei der FDM verwendet und wie verwende ich die Erhaltungsgleichungen hier?

lokal Strukturierte Gitter

Die Ableitungen werden durch Differenzausdrücke der Gitterpunkte approximiert.

(FDM) Wie kann man die Fehlerordnung von Differenzausdrücken erhöhen?

Mehr Stützstellen oder kompakte Differenzen verwenden

(FDM) Wie leitet man über den Polynomansatz die Differenzausdücke her?

Über die Stützstellen wird ein Polynom gelegt, die Vorfaktoren dieses Polynoms bekommt man aus den Werten an den Stützstellen. Dieses Polynom kann man dann in Funktionswert und Ableitungen an der Stelle auswerten. Hier unter Annahme eines äquidistanten Gitters.

(FDM) Wie funktionieren kompakte finite Differenzen und was ist der Vorteil dieser?

Die kompakte finite Differenzen-Methode nutzt neben den Funktionswerten auch die Ableitungen der umliegenden Stützstellen, damit ist die Fehlerordnung bei wenigen Stützstellen höher.

Der Nachteil: die Ableitungen sind abhängig voneinander, daher müssen sie implizit mit einem Gleichungssystem gelöst werden. Zudem gibt es an nicht-periodischen Wänden nicht die benötigten Informationen, hier muss eventuell auf einseitige oder Verfahren geringerer Ordnung zurückgegriffen werden.

(FDM) Diskretisiere folgende Gleichung:

phi durch T ersetzt; CDS:

(FDM) Was ist numerische Diffusion?

Numerische Diffusion ist ein Fehlermechanismus in der Diskretisierung, der sich in der Lösung durch eine erhöhung der Diffusiven Vorgänge darstellt. Es entsteht beispielsweise bei einem BDS erster Ordnung, wobei der größte Fehlerterm eine Ableitung 2. Grades ist. Die Diffusion ist auch abhängig von der 2. Ableitung. Der Fehler äußert sich also als zusätzliche Diffusion, welche bei geringen Schrittweiten auch größer sein kann als die tatsächliche Diffusion. (Skript Seite 63)

(FDM) Wie wendet man finite Differenzen auf mehrdimensionale Probleme an?

Durch Überlagerung von 1D Approximationen. Dabei werden dann mehr umliegende Punkte verwendet, die Lösung ist dann in einem LGS analog zu 1D zu lösen. Die verwendeten Punkte nennt man Stencil, wie hier dargestellt für ein einfaches CDS 2D und 3D.

Seite 66 folgend

(FVM) Welchen Vorteil hat die FVM über der FDM?

Bei der FVM ist das Erhaltungsprinzip immer erfüllt, bei der FDM nur in Spezialfällen.

Die FVM ermöglicht mehr Gitterstrukturen.

(FVM) Welche Gleichungen werden bei der FVM gelöst?

Bei der FVM werden die Erhaltungsgleichungen in Integralform gelöst. Dazu werden die Volumen und Streckenintegrale über die Grenzen numerisch gelöst.

(FVM) Was muss alles für die FVM berechnet werden?

lokale Änderungen im KV (Volumenintegral)
Flüsse über die Oberflächen (Oberflächenintegral)
Quellen und Senken im KV (Volumenintegral)

(FVM) Wie berechnet man die Volumenintegrale? (zell-zentriert)

Das Volumenintegral wird berechnet, indem man das Produkt aus Mittelwert der Berechnungsgröße und dem Volumeninhalt bildet. Der Mittelwert wird meistens durch den Wert der Berechnungsgröße am Zellmittelpunkt approximiert wird. Eine genauere Approximation ist möglich, dazu müssen weitere Funktionswerte an Zellmittelpunkten und Eckpunkten bekannt sein oder approximiert/interpoliert werden. Aufgrund des Aufwands ist das nicht gebräuchlich.

(FVM) Welche Variablen- und Kontrollvolumenanordnungen werden verwendet in der FVM?

(FVM) Wie berechnet man die Oberflächenintegrale? (zell-zentriert)

Das Oberflächenintegral wird berechnet, indem man das Produkt aus Mittelwert der Berechnungsgröße und der Oberfläche bildet. Der Mittelwert wird meistens durch den Wert der Berechnungsgröße am Flächenmittelpunkt approximiert, dies ist die sogenannte “Mittelpunktsregel” (2. Ordnung genau).

Höhere Ordnung:

“Trapezregel” - über 2 Stützpunkte, Eckpunkte (3. Ordnung genau)
“Simpson-Regel” - über 3 Stützpunkte, Eckpunkte + Mittelpunkt (4. Ordnung genau)

Alle Funktionswerte sind hier nicht bekannt und müssen durch Interpolation bestimmt werden. Um die Ordnung zu halten muss auch die Interpolation n. Ordnung genau sein.

Höhere Ordnungen untypisch, da sie zusammen mit den benötigten Interpolationsverfahren hohen Rechenaufwand benötigen.

(FVM) Wie können die Funktionswerte der Flüsse auf den Zellwänden approximiert werden?

Durch Interpolation:

nullter Ordnung: Upwind-Interpolation - Funktionswert auf der Zellfläche wird durch Funktionswert der Zelle Stromauf approximiert

erster Ordnung: Lineare Interpolation - Funktionswert wird linear zwischen den beiden Zellenwerten interpoliert

zweiter Ordnung: Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics QUICK - Funktionswert wird aus den benachbarten Zellen und der übernächsten Stromauf interpoliert

Höhere Ordnungen analog fortführen:

Alternativ auch einseitige Interpolation möglich.

(FVM) Welche Interpolationsarten können für konvektive Flüsse verwendet werden?

Alle, sowohl symmetrische als auch unsymmetrische.

(FVM) Welche Interpolationsarten können für diffusive Flüsse verwendet werden?

Nur symmetrische Interpolation, aufgrund des elliptischen Charakters.

(FVM) Wie sieht ein resultierendes Gleichungssystem in der FVM aus?

Ausgangsgleichung:

Die konvektiven und diffusiven Flüsse können addiert und auch die Volumenintegrale zusammengefasst werden. Nach Einsetzten der Fluss-Approximationen:

Es folgt also ein Gleichungssystem, mit 7 diagonalen Einträgen. Die Anzahl an Diagonalen ändert sich mit den Diskretisierungsschemata. Ein Schema höherer Ordnung hat auch mehr Diagonalen und damit mehr Rechnenaufwand.

Deferred Correction Procedure: Rechenaufwand für hohe Ordnungen kann verringert werden, wenn die Flüsse mit einer einfachen Diskretisierung berechnet werden und aus den Daten des vorherigen Schritts eine genauere Berechnung explizit erfolgt, womit die neuen Daten korrigiert werden:

(FDM) (FVM) Welche Randbedingungen gibt es?

Dirichlet Randbedingung (vorgegebene Randwerte)
Neumann Randbedingung (vorgegebene Randgradienten)

(FVM) Wie werden Ränder in der FVM typischerweise angegeben? Wie verhält sich hier diffusiver und konvektiver Fluss?

Einstromrand: Sind die Variablenwerte auf einem Einstromrand in Form einer Dirichlet Randbedingung gegeben, so kann der Massenstrom und folglich auch der konvektive Fluss direkt berechnet werden. Zur Bestimmung des diffusiven Flusses wird der Gradient am Rand benötigt, welcher über einseitige Differenzenapproximationen ausgedrückt werden kann.
Undurchdringliche Wand: An einer festen Wand gilt die Stokessche Haftbedingung und die Bedingung der Impermeabilität. Folglich ist der Massenfluss und auch der konvektive Fluss identisch Null. Der diffusive Fluss kann in Analogie zum Einstromrand über einseitige Differenzenschemata approximiert werden.
Symmetrierand: Die Symmetriebedingung fordert, dass der Gradient in Normalenrichtung für die meisten Strömungsgrößen gleich null ist, woraus für den diffusiven Fluss folgt. Zusätzlich muss die Geschwindigkeitskomponente in Normalenrichtung zum Symmetrierand Null sein, was bedeutet, dass kein Massenstrom und somit auch kein konvektiver Fluss (F.„a = 0) vorliegt.

(ZI) Was ist der Unterschied zwischen räumlicher und zeitlicher Diskretisierung, bezüglich Informationsfluss?

Räumlich kann jeder Punkt jeden Punkt beeinflussen (elliptisch)

Zeitlich kann eine Störung nur zukünftige Zeitpunkte beeinflussen (parabolisch)

(ZI) Was ist der Unterschied zwischen impliziten und expliziten Zeitintegrationsverfahren? Wie verhält sich der Informationsfluss? Was sind vor und Nachteile?

Explizite Verfahren nutzen die Funktionswerte des bekannten Zeitschritts um den nächsten zu berechnen, sie nutzen daher nur die Funktionswerte des räumlichen Diskretisierungsschemata.

Implizite Verfahren nutzen die Funktionswerte des neuen Zeitschritts und berechnen alle neuen Werte gleichzeitig in einem LGS. Damit beeinflussen nicht nur die Funktionswerte des räumlichen Diskretisierungsschemata die Berechnung. Zeitlich ist das gesamte Feld gekoppelt.

+/- implizite Verfahren (invertiert für explizit):

(-) Terme können nicht direkt berechnet werden, erfordert LGS

(-) aufwendiger zu programmieren

(-) schwieriger in HPC zu implementieren

(-) höherer Aufwand pro Zeitschritt

(+) keine Stabilitätseinschränkungen der Schrittweite; große Zeitschritte anwendbar

Bei DNS/LES kann die Forderung nach kleinen Zeitschritten das einfachere, explizite Verfahren möglich machen.

(ZI) Nenne die gebräuchlichen Einschrittverfahren und erkläre einen.

Aus der Ausgangsgleichung

wird

Hier lassen sich verschiedene Verfahren ableiten:

Runge-Kutta-Verfahren:

Einschrittverfahren (berechnen des nächsten Zeitschritts mit nur einem Schritt), mit mehreren Einzellberechnungsschritten.

Beispiel eines klassischen Runge-Kutta-Verfahrens mit 4 Schritten, 4. Ordnung genau.

(ZI) Wie verhält es sich mit der Stabilität von Zeitintegrationsverfahren am Beispiel von implizitem und explizitem Euler?

Das implizite Verfahren ist unbeschränkt stabil. Das explizite Verfahren nur bis zu einer bestimmten Zeitschrittgröße und bei einem richtigen Verhältnis von Konvektion zu Diffusion. Die beiden Bedingungen sind:

Bei DNS/LES kann die Forderung nach kleinen Zeitschritten das einfachere, explizite Verfahren möglich machen.

(ZI) Was sind Mehrschrittverfahren und was sind Vorteile und Probleme?

Bei Mehrschrittverfahren wird mehr als ein Zeitschritt zur Berechnung des Nächsten herangezogen. Dies funktioniert analog zu den Einschrittverfahren, nur wird hier ein Polynom höherer Ordnung zur Approximation des Integrals herangezogen.

Beispiel explizites Mehrschrittverfahren: