Ringtheorie Begriffe

Ein Ring, in dem 0 der einzige Nullteiler ist

Ring R:

Verknüpfungen +,*: RxR->R

Abelsche Gruppe (R, +)

abelsches Monoid (R, *)

gilt Distributivgesetz

Teilring S:

• 1 in S

• a-b in S

• ab in S

• Nullteiler niemals eine Einheit

• nilpotente Ringe haben Nullteiler

• Zx{0} ein Ring aber kein Teilring ZxZ

Z/4Z da 2 ein Nullteiler ist

Z/1Z da 0 kein Nullteiler ist

ZxZ da z.B. (1,0) ein Nullteiler ist. Einheiten (+-1;+-1)

im Monoid (R,*) die Einheiten sind die invertierbare Elemente

Einheitsgruppe ist die Menge R^x und ist eine Gruppe

• char(K) für einen Körper gleich Null oder eine Primzahl

• Es gibt beispielsweise keinen Körper der Charakteristik 4

• inbesondere ist der Restklassenring Z/4Z kein Körper

R ein Ring wenn er die Eigenschaft R^x=R\{0} besitzt, dann ist er ein Körper.

Jeder Körper ist ein Integritätsbereich

Teilkörper K:

• 1 in K

• a-b in K

• ab in K

• inverses von a in K

Durschnitt von allen Teilkörper

Q^x, R^x, C^x, F_p^x

Z^x={+1, -1}

Z[i]={+1, -1, +i, -i}

Z[sqr(d)]={+1, -1}

(Z/nZ)^x={a+nZ| ggT(a,n)=1}

(ZxZ)^x={(+-1;+-1)}

ist R ein Integritätsbereich dann gilt für die Einheiten des Polynomrings R[x] R^x=(R[x])^x