AFD

• zeichnen sich durch einen hohen Grad an Ordnung aus

• zeigen keine stochastischen Irregularitäten

• stabil gegenüber von außen eingetragenen Störungen

• treten bei niedrigen Reynolds-Zahlen auf

• diffusive Transportprozesse allein infolge der Molekularbewegung,

  
  

  Aber:

• können ein-, zwei- oder dreidimensional sein

• können stationär oder instationär sein

• zeichnen sich durch chaotische Fluidbewegungen aus

• instationar

• dreidimensional

• wirbelbehaftet

• unregelmäßig in Ort und Zeit

• geordnete, kohärente Strukturen können dennoch vorhanden sein

• mischungsintensiv: hoher Impuls-, Wärme- und Stoffaustausch

• durch Molekularbewegung hervorgerufene Diffusionsvorgänge sind gegenüber turbulenten Diffusionsprozessen vernachlässigbar

• dissipativ: Umwandlung der mechanischen Energie in Warme

tl;dr:

• Große Wirbel entstehen durch die Geometrie des Problems (z. B. Zylinderdurchmesser bei Umströmung).

• Kleine Wirbel entstehen durch den Zerfall großer Wirbel in immer kleinere Strukturen.

• Die Wirbel geben die Energie zu den kleineren Strukturen weiter, bis sie dissipiert werden

Langform:

Mechanismus der Energiekaskade

1. Energiezufuhr:

   • Die Energie kommt von außen (z. B. durch Geschwindigkeitsgradienten) und wird in die größten Wirbel eingespeist.

2. Kaskadenprozess:

   • Große Wirbel geben ihre Energie an kleinere Wirbel weiter.

   • Dieser Prozess setzt sich fort, bis die kleinsten Skalen erreicht sind.

   • Im Mittel fließt Energie von großen zu kleinen Skalen (Forward Scatter), aber lokal kann auch Energie zurückfließen (Backscatter).

3. Dissipation:

   • Am Ende der Kaskade wird die mechanische Energie in den kleinsten Wirbeln durch viskose Kräfte in Wärme umgewandelt.

   • Die kleinste Skala ist die Kolmogorov-Länge:l_k = (ν^3 / ε)^(1/4)

     wobei:

     • ν: kinematische Viskosität

     • ε: Dissipationsrate der Turbulenzenergie

   • Die zugehörige Zeit- und Geschwindigkeitsskala:t_k = (ν / ε)^(1/2) u_k = (ν * ε)^(1/4)

Inertialbereich und Energiespektrum

• Zwischen den großen und kleinen Skalen liegt der Inertialbereich:

  • Hier erfolgt der Energietransfer allein durch Trägheitskräfte, unabhängig von Viskosität.

  • Die Energietransferrate ε ist konstant über alle Skalen.

• Das Kolmogorov-Energiespektrum:E(k) ~ k^(-5/3) für die Wellenzahl k im Inertialbereich.

Wichtige Eigenschaften

• Turbulenz ist dreidimensional, instationär und dissipativ.

• Mit steigender Reynolds-Zahl wächst der Bereich der Skalen stark an:L / l_k ~ Re^(3/4)

  (L = größte Skala, l_k = Kolmogorov-Länge).

Kolmogorov-Konstante: α_k ≈ 1.6 ± 0.06

tl;dr:

Der Energietransfer geschieht durch „Vortex Stretching“ (Wirbelstreckung) und „Vortex tilting“

Langform:

Die Wirbelstrukturen in einem Fluid verändern sich durch einen komplexen, nichtlinearen Prozess, der von mehreren Mechanismen bestimmt wird:

1. Wirbelstreckung (Vortex Stretching)

   • Große Wirbel werden durch Geschwindigkeitsgradienten gestreckt.

   • Dabei nimmt ihre Längenskala ab, und die Wirbelstärke steigt.

   • Dieser Prozess entzieht Energie aus dem mittleren Strömungsfeld und überträgt sie auf kleinere Skalen.

2. Wirbelneigung (Vortex Tilting)

   • Wirbelachsen werden durch Scherung geneigt.

   • Dies führt zu einer Umverteilung der Wirbelstärke in alle Raumrichtungen und erhöht die dreidimensionale Komplexität.

   • Die Wirbel werden dadurch aufgeteilt in den anderen Raumrichtungen und diese wiederum erneut, darstellbar in einem Stammbaum:

1. Energiekaskade

   • Die Energie wandert von großen, energiereichen Wirbeln zu immer kleineren Wirbeln, bis die kleinste Skala erreicht ist.

   • Dort wird die mechanische Energie durch viskose Kräfte in Wärme dissipiert.

1. Direkte numerische Simulation (DNS)

• Prinzip: Lösung der vollständigen, dreidimensionalen, instationären Navier-Stokes-Gleichungen ohne empirische Modellannahmen.

• Modellierungsgrad: Kein Modellierungsgrad – alle Skalen der Turbulenz werden direkt berechnet.

• Bezug zur Energiekaskade: DNS bildet die gesamte Energiekaskade ab – von den großen Wirbeln bis zur kleinsten Kolmogorov-Skala:η = (ν^3 / ε)^(1/4) τ_η = (ν / ε)^(1/2) u_η = (ν * ε)^(1/4)

  Nachteil: Extrem hoher Rechenaufwand, da das Verhältnis der größten zu kleinsten Skalen stark mit der Reynolds-Zahl wächst:L / η ~ Re^(3/4)

2. Large-Eddy Simulation (LES)

• Prinzip: Auflösung der großen, energiereichen Wirbel (Grobstruktur) durch direkte Berechnung; die kleinen Skalen (Feinstruktur) werden modelliert.

• Modellierungsgrad: Teilweise Modellierung – nur die kleinen Skalen werden durch Subgrid-Scale-Modelle approximiert (z. B. Smagorinsky-Modell).

• Bezug zur Energiekaskade: LES bildet den oberen Teil der Energiekaskade direkt ab (große Wirbel), während die Dissipation in den kleinsten Skalen durch Modelle erfolgt. Energiespektrum im Inertialbereich:E(k) ~ k^(-5/3) Die Energietransferrate ε bleibt konstant über die Skalen.

3. Reynolds-gemittelte Navier-Stokes (RANS)

• Prinzip: Zeitliche Mittelung der Navier-Stokes-Gleichungen; turbulente Schwankungen werden vollständig modelliert.

• Modellierungsgrad: Hoher Modellierungsgrad – gesamte Turbulenz wird durch statistische Modelle (z. B. k-ε-Modell) beschrieben.

• Bezug zur Energiekaskade: Die Energiekaskade wird nicht direkt berechnet, sondern über Modellgleichungen für turbulente kinetische Energie k und Dissipationsrate ε angenähert:ε ≈ C_ε * (k^(3/2) / l) wobei l eine charakteristische Längenskala ist.

Zusammenhang zwischen Modellierungsgrad und Energiekaskade

Modellierung:

Energiekaskade:

• DNS: Vollständige Auflösung → gesamte Energiekaskade wird direkt simuliert.

• LES: Teilweise Auflösung → große Skalen direkt, kleine Skalen modelliert.

• RANS: Keine direkte Auflösung → gesamte Energiekaskade durch Modelle approximiert.

Bei geringem Turbulenzgrad der Außenströmung erfolgt die Transition in der Grenzschicht über mehrere klar unterscheidbare Stadien. Dieser Prozess ist räumlich und zeitlich gestaffelt:

1. Stabile laminare Strömung

   • Die Grenzschicht ist zunächst laminar und stabil.

2. Primäre Instabilität: Tollmien–Schlichting-Wellen (TS-Wellen)

   • Kleine Störungen in der laminaren Grenzschicht werden angefacht.

   • Diese zweidimensionalen Wellen entstehen durch lineare Instabilität der Grundströmung.

3. Sekundäre Instabilität: 3D-Strukturen (Λ-Strukturen)

   • Die TS-Wellen werden instabil gegenüber dreidimensionalen Störungen.

   • Bildung von langgestreckten Wirbelstrukturen.

4. Wirbelzerfall

   • Die dreidimensionalen Strukturen brechen auf, kleinere Wirbel entstehen.

5. Bildung von Turbulenzflecken (Spots)

   • Lokale Bereiche turbulenter Bewegung entstehen innerhalb der Grenzschicht.

6. Vollturbulente Strömung

   • Die Grenzschicht ist vollständig turbulent.

Andere Zeichnung mit Draufsicht:

(Vorsicht: andere Nummerierung, Wirbelzerfall fehlt)

Wurmbild dazu:

• Vielfältige Einflussparameter: Die Transition hängt von vielen Faktoren ab, wie Reynolds-Zahl, Druckgradient, Mach-Zahl, Temperatur, Wandkrümmung, Rauigkeit und Turbulenzgrad der Außenströmung. Diese Parameter wirken oft gleichzeitig und nichtlinear zusammen.

• Komplexe Mechanismen: Der Umschlagsprozess umfasst verschiedene Stadien (primäre und sekundäre Instabilitäten, dreidimensionale Strukturen, Wirbelzerfall), die nicht vollständig durch einfache Modelle erfasst werden können.

• Rezeptivität unbekannt: Die Anfälligkeit der Grenzschicht gegenüber äußeren Störungen (Turbulenz, Schall, Vibrationen) ist noch nicht ausreichend verstanden. Diese Mechanismen bestimmen, wie externe Störungen in die Grenzschicht übertragen werden und die Transition einleiten.

• Fehlende vollständige Theorie: Trotz intensiver Forschung gibt es keine geschlossene Theorie, die alle Einflussgrößen und Mechanismen zuverlässig kombiniert.

• Turbulenzgrad der Außenströmung:

  • Geringer Turbulenzgrad → natürliche Transition über Tollmien–Schlichting-Wellen.

  • Hoher Turbulenzgrad → Bypass-Transition, Überspringen der linearen Stadien.

• Druckgradient:

  • Beschleunigung (dp/dx < 0) stabilisiert, Verzögerung (dp/dx > 0) destabilisiert die Grenzschicht.

• Wandrauigkeit und Wandkrümmung:

  • Rauigkeit und konkave Krümmung fördern Instabilitäten (z. B. Görtler-Wirbel).

• Temperatur und Wärmetransport:

  • Wandkühlung oder -heizung beeinflussen die Stabilität je nach Medium (Gas oder Flüssigkeit).

• Kompressibilität (Mach-Zahl):

  • Bei hohen Mach-Zahlen ändern sich die Stabilitätsbedingungen.

• Absaugen/Ausblasen an der Wand:

  • Absaugen stabilisiert, Ausblasen destabilisiert die Grenzschicht.

• Natürliche Transition

• Bypass–Transition

• Ablösungsinduzierte Transition

• Nachlaufinduzierte Transition

• Querströmungsinduzierte Transition

Allgemeine Grafik

Die Transition lässt sich nicht wirklich vorhersagen, aber die Indifferenz-Reynoldszahl lässt sich vorhersagen und daher, wann ein Umschlag beginnen kann. Wann er wirklich umschlägt, ist nicht vorhersagbar.

Grundprinzip der e^N-Methode

• Jede instabile Störung in der Grenzschicht wird stromabwärts angefacht.

• Die Anfachung wird durch den Faktor beschrieben:a = e^(∫ ω_i dt) = e^N

  • ω_i: zeitliche Anfachungsrate der Störung

  • N: empirisch bestimmter Exponent (typisch N ≈ 9 für natürliche Transition bei geringem Turbulenzgrad)

Vorgehensweise

1. Berechnung der Grundströmung (z. B. Grenzschichtprofil).

2. Bestimmung der Stabilität mittels Orr–Sommerfeld-Gleichung: Sie beschreibt, wie kleine Störungen in einer laminaren Grundströmung wachsen oder abklingen.

3. Integration der Anfachungsrate ω_i entlang der Strömungsrichtung.

4. Vergleich mit empirischem Grenzwert N: Wenn ∫ ω_i dt = N erreicht → Transition wird angenommen.

Bei der DNS werden die NS Gleichungen direkt gelöst, ohne Modellierungen.

Dafür müssen alle relevanten Strukturen der Strömung (Turbulenzen, Ränder, …) vom Gitter aufgelöst werden.

Ich muss zeitliche Anfangsbedingungen geben und räumlich alle Ränder definieren.

Mögliche Unterscheidungsmöglichkeiten:

• nach Art der Größe:

  • Dirichlet

  • Neumann

  • Dirichlet und Neumann

  • periodische Randbedingungen

• nach physikalischen/künstlichen Rändern:

  • Wandrandbedingung

  • Ausströmrand

  • Einströmrand

Die Wandrandbedingung ist bei der DNS ebenfalls die Stokessche Haftbedingung. Somit sind die Tangentialgeschwindigkeiten = 0 und bei einer undurchlässigen Wand ebenfalls die Normalgeschwindigkeit = 0.

Die Grenzschicht besteht aus mehreren Teilen, die wie folgt abgebildet werden können:

• Wichtige Gleichungen:

u+ = U/u_τ y+ = (y*u_τ)/ν u_τ = √(τ_w/ρ)

• viskose Unterschicht:

Wandnaher Bereich bis y+ = 5

molekülbedingter Impulstransport deutlich höher als turbulenzbedingte Schwankungsbewegung

• logarithmisches Wandgesetz

y+ von 30 bis 500

turbulenzbedingte Schwankungsbewegung deutlich höher als molekülbedingter Impulstransport

u+ = 1/κ * ln(y+) + C

Karman Konstante κ ~ 0.41 und C ~ 5.0 bis 5.2 (experimentell)

• Zwischenschicht (Buffer Layer)

y+ von 5 bis 30

turbulenzbedingte Schwankungsbewegung ähnlich molekülbedingter Impulstransport

auch logarithmisch beschreibbar, andere Konstanten

adäquate Abbildung:

Um die Schichten abbilden zu können, müssen alle mit genügend Punkten belegt werden. Hier ist die viskose Unterschicht kritisch, da sie die kleinste ist und trotzdem mit einigen Gitterpunkten belegt sein muss. Durch die geforderte moderate Gitterstreckung ist dann auch im restlichen Bereich ein dichtes Gitter nötig.

Randbedingung soll Wirbel und Strömung unverändert auslassen, ohne mit Reflexionen auf das Integrationsgebiet zu wirken. Dazu haben sich konvektive Randbedingungen am Ausstromrand als besonders geeignet erwiesen.

Der Einstromrand muss Problembezogen und passend der Simulationsmethode aufgestellt werden. Für RANS ist eine zeitlich konstante Stömung mit k und ε Daten für das Turbulenzmodell möglich, wenn ein turbulenter Umschlag simuliert werden soll, ist das auch bei DNS und LES sinnvoll.

Wenn ein allgemeines Strömungsproblem mit DNS/LES simuliert werden soll, werden aber turbulente Einflussdaten benötigt:

Messdaten:

Aufgrund der Datenmengen und Genauigkeit ist es selbst mit modernen Messmethoden nicht möglich pro Zeitschritt das gesamte Strömungsfeld zu messen, daher können keine Messdaten verwendet werden.

Simulationsdaten:

• aufgezeichnet: entweder zeitlich aufgezeichnet oder ein räumliches Turbulenzfeld aufgezeichnet und dann zeitlich durchlaufen. Die Daten reichen dann für den Problemfall oder müssen periodisch durchlaufen werden.

• live: eine Parallelgeschaltete Simulation eines Einstrombereichs liefert live Einstromdaten für die gesamte Dauer der Simulation.

Künstliche Erzeugung:

Durch Zerlegung mit dem Reynoldschen Ansatz ist es möglich, ein zeitlich konstantes Feld anzugeben und Fluktuationen zu erzeugen. Dies ist einfach über Zufallszahlen möglich, oder über andere Methoden. Die physikalische Plausibilität ist allerdings fragwürdig. Teilweise glätten sich daher die Daten sehr schnell im Integrationsgebiet wieder.

Periodische Randbedingungen sind nur anzuwenden, wenn sie physikalisch sinnvoll sind (z.B. Turbinenschaufeln) oder wenn die Strömung in eine Richtung statistisch nicht variiert (z.B. ebene Kanalströmung, Simulation eines Flügelprofils), aber aufgrund der Turbulenz trotzdem 3D simuliert werden muss. Bei zweiterem muss das Gebiet aber so groß sein, dass die größten Strukturen abgebildet werden können. Diese Forderung kann über die Zweipunkt-Korrelation überprüft werden.

Während die Geschwindigkeit als periodisch übernommen werden kann, kann der Druck nicht direkt periodisch genommen werden, da der Druckgradient über den Integrationsbereich bestehen muss, um eine Strömung voranzutreiben. Die Lösung: der Druckgradient wird als zusätzlicher Quellterm in die Impulsgleichung gesetzt. Dann enthält das berechnete Feld nur noch Druckfluktuationen. Für die Nutzung der Daten in einem anderen Integrationsbereich muss dann der Absolutwert dazugerechnet werden.

Diese Technik setzt die Kenntnis des Druckgradienten voraus, welcher von der Wandschubspannung abhängig ist. Speziell bei LES-Berechnungen ergibt sich daraus ein Problem: Jede Ungenauigkeit der Bestimmung der Feinstrukturspannung in Wandnähe ergibt veränderte Wandschubspannung und daher für den gleichen Druckgradienten einen anderen Massenfluss.

Soll der Massenfluss eingestellt werden, muss daher der Druckgradient geregelt werden. Das geschieht über einen sogenannten Forcing Term, der den Druckgradienten iterativ einstellt.

Ideal: physikalisch korrektes, dreidimensionales, turbulentes Strömungsfeld, welches die Randbedingungen erfüllt. Problem: das suche ich ja.

Daher:

• bei Untersuchung zeitlicher Entwicklungsprobleme: detaillierte Darstellung wichtig. Anfangswerte müssen nach bestem Wissen gebaut werden, um die Entwicklung abbilden zu können.

• bei Untersuchung eines statistisch stationären Zustands: Anfangsbedingungen spielen untergeordnete Rolle, für die Ergebnisse sollten sie sogar keinen Unterschied machen. Für die benötigte Zeit zum Einstellen der Lösung machen sie aber einen Unterschied. Zur Beschleunigung sind hier einige Tricks angegeben:

  • Einhaltung der Divergenzfreiheit des Geschwindigkeitsfelds

  • Aufprägung einer Symmetriebrechnung

  • Addition von geeigneten Schwankungsgrößen

  • Zeitweise Erhöhung der Reynoldszahl

  • Wiederverwendung alter Simulationsdaten bei Parametervariationen

  • Einsatz sukzessiv verfeinerter Gitter

Der Rechenaufwand steigt, wenn man 3 Raumrichtungen und die Zeit beachtet, durch die Verfeinerung der Schritte mit Re^3. Strömungen, die technisch interessant sind, haben häufig hohe Re Zahlen, der Rechenaufwand steigt daher selbst für einfache Probleme so stark an, dass eine Berechnung nicht möglich ist. DNS ist daher hauptsächlich ein Tool der Forschung.

• Prinzip: Auflösung der großen, energiereichen Wirbel (Grobstruktur) durch direkte Berechnung; die kleinen Skalen (Feinstruktur) werden modelliert.

• Modellierungsgrad: Teilweise Modellierung – nur die kleinen Skalen werden durch Subgrid-Scale-Modelle approximiert (z. B. Smagorinsky-Modell). Die Idee ist hier, dass die kleinen Skalen homogener und isotroper als die Großen sind und daher allgemeingültiger mit Modellen abgebildet werden können. Aber auch an den Wänden muss mit Modellen gearbeitet werden, um ein gröberes Gitter möglich zu machen.

• Bezug zur Energiekaskade: LES bildet den oberen Teil der Energiekaskade direkt ab (große Wirbel), während die Dissipation in den kleinsten Skalen durch Modelle erfolgt.

Bei der LES werden die kleinen Skalen herausgefiltert. Das kann explizit durch mathematische Filter geschehen oder implizit durch das Gitter (hier werden die Gleichungen nicht verändert).

(expliziter) Filteransatz:0

Hier entstehen durch die Filterung neue Terme in der Energie- und Impulsgleichung (Herleitung S. 315f)

Zusätzlichen Terme sind: Feinstruktur-Spannungstensor (ähnlich molekülbedingter Impulstransport) und der Feinstruktur Wärmestrom. Ersterer kann in Leonard-Term, Kreuzspannungs-Term und Feinstruktur-Reynolds-Term unterteilt werden.

Der Leonard-Term beschreibt die Wechselwirkung der Grobstrukturelemente untereinander und kann bei expliziter Filterung direkt berechnet werden, da er nur Grobstrukturwerte enthält.

Der Kreuzspannungs-Term beschreibt die Wechselwirkung der Grob- und Feinstrukturfelder. Er transferiert Energie in beide Richtungen, im Mittel aber zu den kleinen Elementen. Er kann nicht explizit berechnet werden und muss daher modelliert werden.

Der Feinstruktur-Reynolds-Term beschreibt die Wechselwirkung der Feinstrukturelemente untereinander und erzeugt großskalige Wirbelelemente und ist somit mit C am Backscatter-Effekt beteiligt. Auch er muss modelliert werden.

Bei impliziter Filterung oder dem Deardorff-Schumann-Ansatz sind die Terme teilweise vernachlässigbar aufgrund Spezialfälle der Verfahren.

• Top-Hat-Filter

• Cut-Off-Filter

• Gauß-Filter

Wellenzahlbereich:

Alle Filter laufen bei kleiner werdenden Filterweiten gegen die Originalfunktion.

• Null–Gleichungs–Modelle (algebr. Wirbel–Viskositätsmodelle)

  • Smagorinsky–Modell

• Ein–Gleichungs–Modelle

• Zwei–Gleichungs–Modelle

• Modelle höherer Ordnung (Transportgl. für jede Kompon. von τij)

• Ähnlichkeits–Modell / Dynamisches Modell

  • Dynamisches Modell von Germano und Lilly

• Approximate Deconvolution Modell, ...

Die Idee: Feinstrukturspannungstensor genau so darstellen, wie molekülbedingter Impulstransport: τ_ij = -2*μ_T*S_ij mit der Wirbelviskosität μ_T und dem Deformationstensor S_ij.

μ_T wird durch Dimensionsanalyse definiert als: μ_T ~ ρ_c * l_c * u_c. ρ wird dabei =1 gesetzt, es ist nur für die richtige Dimension zuständig. l_c und u_c werden modelliert.

l_c wird als Filterweite multipliziert mit der Smagorinsky Konstante gesetzt. l_c = C_s * Δ und u_c davon abgeleitet: u_c = l_c * |S_ij| mit |S_ij| = √2(S_ij * S_ij)

Zusammengesetzt folgt daraus: τ_ij = C_s^2 * Δ^2 * |S_ij|

Theoretischer Wert Smagorinsky Konstante: 0.165; gemessener Wert: 0.065 - 0.1

Probleme:

Wandnähe: in Wandnähe muss die Geschwindigkeitsschwankung auf 0 abfallen, daher muss der Feinstrukturspannungstensor auf 0 abfallen. Daher kann die charakteristische Länge modifiziert werden:

transitionelle Stömungen: bei laminaren Stömungen muss die Wirbelviskosität = 0 sein. Dafür kann erneut die charakteristische Länge modifiziert werden mit dem Verhältnis der Verdrängungsdicke zu Impulsverlustdicke:

Die Idee von Germano ist, das Feld zweimal zu filtern. Einmal wie bei Smagorinsky, um die feinen Strukturen zu eliminieren, einmal im aufgelösten Bereich. Aus den noch aufgelösten Werten lässt sich die Smagorinsky Konstante der höheren Filterung bestimmen, aus welcher sich über die Germano Identität auch die Smagorinsky Konstante der eigentlichen Filterung bestimmen lässt.

Da hier die Konstante dynamisch, nach dem Ort aus den Strömungsdaten bestimmt wird, heißt es dynamisches Modell.

Dies hat zudem den Vorteil, dass Dämpfung in Wandnähe und vor der Transition nicht benötigt wird. Das Model kommt ohne fallabhängige Konstanten aus.

Ähnlich zum Feinstrukturspannungstensor lässt sich der Wärmestrom von der Wirbelviskosität darstellen, zur Umrechnung wird die turbulente Prandlzahl verwendet, deren Werte jedoch stark variieren. Die Prandlzahl kann auch durch einen dynamischen Ansatz variiert werden.

Die Grenzschicht müsste ähnlich zur DNS sehr genau aufgelöst werden. Die hohe Auflösung führt zu vielen Gitterpunkten auch in die anderen Raumrichtungen, was den Zeitvorteil zur DNS zunichtemacht. Eine Lösung dafür sind Wandmodelle.

Wandmodell nach Schumann:

Es wird angenommen, dass ein Zusammenhang zwischen der momentanen Wandschubspannung und der tangentialen Geschwindigkeitskomponente auch höher über der Wand gilt. Der erste Gitterpunkt kann dann erst in die logarithmischen Außenbereich gelegt werden. Durch die Geschwindigkeit wird dann die Wandschubspannung bestimmt.

Wandmodell nach Piomelli und weitere Veränderungen:

Das Wandmodell von Schumann wird dahingehend verändert, dass nicht mehr der wandnächste Punkt, sondern ein versetzter Punkt verwendet wird. Dafür verantwortlich sind geneigte wandnahe Strukturen, sogenannte Streaks (Würmer). Die Wandschubspannung ist also eher abhängig von der räumlich versetzten Geschwindigkeit darüber.

RANS soll die statistisch stationäre Strömung abbilden. Diese Strömung kann ebenfalls ingenieurstechnische Fragestellungen gut beantworten, wie:

• Verteilung von Geschwindigkeit, Druck, Temp, … oder kinetische Energie

• Auftriebs und Widerstandsbeiwerte

• Wärmeübergang/Nusselt-Zahl

• Vermischungsgrad

Dazu wird die zeitliche Mittelung auf die NSGleichungen angewendet. Ähnlich zu den Filterungen der LES kommt es hier erneut zu neuen Größen in der Impuls- und Energiebilanz (Reynoldscher Spannungstensor und Reynoldscher Wärmestrom). Die neuen Größen sorgen für ein ungeschlossenes Gleichungssystem, das ohne Modelle nicht geschlossen werden kann.

Nach einiger mathematischer Umformung kann der Reynolds Spannungsterm umgeschrieben werden. Er besteht aus folgenden (zusammengefassten) Teilen:

• Produktion

• Dissipation

• Diffusion

• Konvektion

• lokale Änderung

• Umverteilungsprozess

Durch diese Umformung ist die Gleichung jedoch noch weiter entfernt davon, geschlossen zu werden.

Einteilung in:

• Wirbelviskositätsmodelle (First-Moment-Closure)

  • Nullgleichungsmodelle

  • Eingleichungsmodelle

  • Zweigleichungsmodelle

• Reynoldyspannungsmodelle (Second-Moment-Closure)

Die interessanten Modelle:

• k-ε-Modelle (Zweigleichungsmodell)

• Reynoldyspannungsmodelle

Ähnlich zu den LES Modellen ist der Reynoldsche Spannungstensor ähnlich zum molekülbedingten Impulstransport dargestellt. Die Anisotropen und Isontropen Anteile sind hierbei aber getrennt. Anisotrop wird druch die Wirbelviskosität dargestellt, Isotrop durch Druck (über die turbulente Kinetische Energie).

Ähnlich zum molekülbedingten Impulstransport wird die Wirbelviskosität bestimmt. Es wird angenommen, dass die Interaktion der Turbulenzballen ähnlich denen der Moleküle ist (auch wenn das nicht der Fall ist). Die Wirbelviskosität ist dann abhängig von einer Länge und einer Geschwindigkeit.

Wie man diese Länge und Geschwindigkeit findet, über algebraische Beziehungen, eine oder zwei Differenzialgleichungen, ist ausschlaggebend, wie das Modell zugeordnet wird.

Über die Reynoldsgleichungen werden Transportgleichungen für k und für ε hergeleitet, die dann mit den NSGleichungen gelöst werden müssen. Daher hat man dann Kontigleichung, 3 Impulsrichtungen, k- und ε-Transportgleichung und die 6 Unbekannten u_ijk, p, k, ε.

In Wandnähe gilt das Standard-k-ε-Modell nicht mehr, hier muss mit weiteren Annahmen gearbeitet werden. Hier gibt es die folgenden Ansätze:

• Low-Re k-ε-Modell: Erweiterung des Standardmodells, um molekulare Transportvorgänge zu berücksichtigen, dadurch wieder gültig an der Wand, aber wieder hohe Auflösung benötigt

• Überbrückung mit Wandfunktionen: Über das logarithmische Wandgesetz kann mit einem Punkt im logarithmischen Bereich die Wandschubspannung bestimmt werden.

Die WVM nehmen Grundsätzulich an:

• linearer Zusammenhang zwischen Spannungstensor und Deformationstensor, Achsen stimmen immer überein

• isotroper Transportkoeffiziernt für Impuls- und Skalartransport, d.h. Wirbelviskosität und -diffusität

Daraus folgen die folgenden Probleme:

• WVM zeigen eine viel zu schwache Empfindlichkeit auf Krümmung und Drall.

• WVM neigen dazu, Ablösung von gekrümmten Wänden zu verhindern und ein zu frühes Wiederanlegen hervorzusagen.

• WVM ergeben einen näherungsweise isotropen Zustand, auch in Wandnähe.

• WVM ergeben eine viel zu hohe Turbulenzproduktion bei Prallstromungen (Staupunkt).

• WVM ergeben eine zu schwache Empfindlichkeit auf Dichteschichtung (Auftriebskräfte).

• WVM ergeben ein viel zu hohes Längenmaß bei verzögerten Grenzschichten und

  abgelösten Strömungen.

Der Boussinesq-Ansatz versagt bei:

• Strömungen mit plötzlichen Änderungen der mittleren Scherrate

• Strömungen über gekrümmte Oberflächen

• Strömungen in Rohren mit Sekundärbewegungen

• Strömungen in rotierenden oder geschichteten Fluiden

• dreidimensionale Strömungen

• Strömungen mit Grenzschichtablösung

Beim Reynolds-Spannungs-Modell werden alle Teile des Spannungstensors einzeln modelliert. Dazu müssen 7 weitere Differenzialgleichungen eingeführt und gelöst werden. Daurch werden aber Details besser dargestellt, da anisotropie und ähnliches eigens berechnet werden. Wichtig ist das vor allem bei:

• Stromlinienkriimmung (Ablösung, Rückström- und Staupunktgebiete)

• starke Druckgradienten

• Drallströmungen

• Auftriebsströmungen

• Sekundärströmungen (druck- und turbulenzgetrieben)

• dreidimensionale Effekte

• Kompressibilität und Strömungsdiskontinuitäten (Stoß)