Wie ist ein allgemeines Optimierungsproblem formal definiert?
Minimierung einer Zielfunktion f(p) unter Gleichheits-, Ungleichheitsnebenbedingungen und Parameterschranken.
Was versteht man unter einer Zielfunktion?
Eine mathematische Funktion, die den zu minimierenden oder maximierenden Zielwert beschreibt.
Was sind Gleichheitsnebenbedingungen?
Nebenbedingungen der Form h(p)=0, die immer exakt erfüllt sein müssen.
Was sind Ungleichheitsnebenbedingungen?
Nebenbedingungen der Form g(p)≤0, die den zulässigen Bereich begrenzen.
Was sind Parameterschranken und wie unterscheiden sie sich von anderen Nebenbedingungen?
Obere und untere Grenzen für Parameter; sie sind spezielle Ungleichheitsnebenbedingungen.
Was bezeichnet man als zulässigen Bereich eines Optimierungsproblems?
Die Menge aller Parameter, die alle Nebenbedingungen und Schranken erfüllen.
Wann ist eine Ungleichheitsnebenbedingung aktiv?
Wenn sie im Optimum mit Gleichheit erfüllt ist, also g(p*)=0 gilt.
Wie unterscheiden sich aktive und nicht aktive Nebenbedingungen?
Aktive beeinflussen die Lage des Optimums, nicht aktive haben dort keinen Einfluss.
Wie wirken Gleichheitsnebenbedingungen auf die Dimension des zulässigen Bereichs?
Sie reduzieren die Dimension des zulässigen Bereichs.
Was ist der Unterschied zwischen globalem und lokalem Optimum?
Ein globales Optimum ist das beste über den gesamten Bereich, ein lokales nur in einer Umgebung.
Welche Probleme können bei unstetigen Zielfunktionen auftreten?
Mehrere Minima und Versagen gradientenbasierter Verfahren.
Warum beeinflusst die Glattheit der Zielfunktion die Wahl des Optimierungsverfahrens?
Weil viele Verfahren Ableitungen benötigen, die bei Unstetigkeiten nicht existieren.
Welche Rolle spielt die Anzahl der Parameter bei der Auswahl eines Optimierungsalgorithmus?
Sie beeinflusst Rechenaufwand, Konvergenzgeschwindigkeit und Verfahrenswahl.
Was sind Suchstrategien und wie unterscheiden sie sich von Gradientenstrategien?
Suchstrategien sind heuristisch und ableitungsfrei, Gradientenstrategien nutzen Ableitungen.
Was versteht man unter numerischem Rauschen der Zielfunktion?
Zufällige Schwankungen der Funktionswerte durch numerische Effekte oder Simulationen.
Welche Faktoren beeinflussen die Auswahl eines Optimierungsverfahrens?
Anzahl der Parameter, Glattheit, Rauschen, Rechenzeit und verfügbare Ressourcen.
Was ist eine notwendige Optimalitätsbedingung bei unrestringierten Optimierungsproblemen?
Das Verschwinden des Gradienten der Zielfunktion.
Wie lautet die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingung (KKT) inhaltlich?
Gradient der Zielfunktion ist Linearkombination der Gradienten aktiver Nebenbedingungen.
Welche Bedeutung haben KKT-Bedingungen als Abbruchkriterium?
Sie zeigen an, dass ein lokales Optimum erreicht ist.
Warum wird in der Praxis oft vor Erreichen des mathematischen Optimums abgebrochen?
Weil Modellunsicherheiten bestehen und weiterer Aufwand keinen praktischen Nutzen bringt.
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