statistik

rt = log(Pt) - log(Pt-1)

Warum?

Preise sind nicht stationär

Renditen sind additiv über die Zeit

• geglätteter Durchschnitt = weighted average

—> Wert heute ist der Startwert + Summe aller Schocks bis heute

Mean ist: = X0 bzw. = X0 + t * mü

3 Conditions:

Cov(…) = Zusammenhang Xt und Xt-1 -> wenn = 0 -> kein Zusammenhang

-> z.B. White Noise: stationary with cov(…) = 0

Xt = beobachtete Zeitreihe

Wt = White Noise (Schock)

at = Gewicht (wie viel alte Schocks wirken)

-1 < p(h) < 1 -> Staärke und Richtung des Zusammenhangs -> p(0) = 1 -> perfekt mit sich selbst korreliert

-> stationary process: p(h) = 0 for h gegen unendlich

-> z.B. White Noise: p(h) = 0 weil White Noise rein zufällig sind

-> nur bei AR(1) Modellen ist der pacf = der koeffizient

-> Residuen sollen reiner Zufall sein!

-> gibt es noch Struktur, die das Modell nicht erklärt? -> Ljung Test liefert die Antwort

-> acf 1 = pacf 1 gilt für ma und ar modelle immer: pacf = correlation wenn lags dazwischen rausgerechnet wurden -> pacf 1 : keine lags dazwischen

Invertierbarkeit: Bedingung für MA Prozesse

Stationarität: Bedingung für AR Prozesse

ACF -> cuts off after q Lags

-> Varianz exestiert nur bei stationären AR Prozessen

Varianz: AR(1):

-> gilt nur für AR(1)

Methods of Moments:

-> not good for MA processes

Least squares:

-> good for AR but nor for MA or ARMA

Concept behind ARMA/ARIMA

-> minimiert quadriertem residuen

-> good for AR, MA, ARMA

1. AIC und BIC vergleichen

1. Gewähltes Modell überprüfen

-> die Residuen sollen White Noise sein: Mittelwert = ca. 0 , konstante Varianz, keine Autokorrelation

-> wenn noch Struktur in den Residuen: Modell hat etwas wichtiges nicht erklärt

-> nicht langfritig mü sondern langfritig der mean: mü/(1 - Summe: Koeffizienten)

-> mit h gegen unendlich: varianz ist die unconditional variance nach q schritten: für ma(q) -> var(Xt) = sigma^2 *( 1 + ø1^2 + … + øq^2 )

-> wenn k > q also der forecast horizon > MA order -> keine bekannten MA Schocks wirken mehr -> MA Teil fällt raus -> forecast jetzt wie bei reinem AR(p)

-> für AR gilt: AR Gewichte sind < 1 -> Einfluss der Vergangenheit wird mit jedem Schritt kleiner -> Forecast nähert sich dem Durchschnitt mü/(1-summe:koeffiziemten des ar teils) an

-> langfristig ist der Mittelwert der Zeitreihe der beste Forecast

Fehlermessung:

-> Durchschnittliche Fehler oder durchschnittliche quadrierte Fehler (um größere Fehler stärker zu bestrafen)

A time series Xt is non stationary if its statistic properties (mean, variance, covariance) change over time

-> /ß/ < 1 -> Schocks verlieren mit der Zeit an Wirkung -> stationär

-> /ß/ = 1 -> Schocks bleiben für immer und addieren sich -> Unit Root -> nicht stationär

-> /ß/ > 1 -> Schocks wirken mit der Zeit immer stärker -> nicht stationär

-> der mean ohne drift ist: E(Xt) = X0 -> konstant aber abhängig vom Startwert

Problem:

Der neue Wert besteht zu 100% aus dem altem Wert

-> Errors verschwinden nicht sondern addieren sich immer weiter auf

-> process is not mean reverting

—> zukünftige Schocks werden als 0 angenommen daher ist jeder zukünftige Wert im forecast einfach der heutige Wert

-> der heutige Wert ist der Startwert X0 + Summe aller Schocks bis heute

Variance:

Variance wächst mit Prognosehorizont h bis zu einer bestimmten Grenze weil /ø/ < 1

-> unconditional Variance: für z.b. forecast error -> Varianz hängt nicht von vergangenen Beobachtungen oder Schocks ab

-> 🔺xt hängt nicht mehr von der Vergangenheit ab!

-> Et beeinflusst die Änderung -> die beeinflusst wiederum alle zukünftigen Abänderungen

Problem:

ARIMA betrachtet nur Zusammenhänge pber wenige vergangene Zeitpunkte -> erkennt keine wiederkehrenden Muster -> keine Saisonalität

-> benutzt wenn: kurzfristige Dynamik unwichtig / starke saisonale Abhängigkeiten

Idee: ARMA als MA schreiben damit Wert Xt nur noch von Schocks abhängt (sowohl direkt durch den MA Teil als auch indirekt durch die Xts im AR Teil)

-> nach q schritten fällt der ma teil weg -> wie ar forecast ab da -> geht gegen den mean: mü/(1 - Summe: Koeffizienten AR Teil)

-> Varianz geht für h gegen unendlich zur unconditional variance

• Kurzfristig weißt du noch etwas über vergangene Schocks

• Langfristig ist alles vergessen

• Dann ist die beste Schätzung:

  • der Mittelwert

  • mit der Streuung der Serie

Vergangene Informationen helfen den Durchschnittswert vohertusagen aber helfen nicht dabei Unsicherheit zu berechnen!

Die Varianz hängt von vergangenen Schocks ab.

ARCH-Modelle setzen voraus dass der Mittelwert konstant ist, also schon durch ein ARMA Modelle bereinigt wurde

Beispiel: ARCH(1):

1. Specify the mean equation: evt. ARMA Modell anwenden

2. Test for ARCH effects: Use the residuals of the mean equationto test for ARCH effects -> if there are significant autocorrelations / dependencies -> conditional variance depends on past residuals -> ARCH/GARCH model

3. Specify a volatility model

   1. choose oreder of the model: ARCH(p) -> welches p?

2. pay attention to the distribution of Et (Schocks): Verteilung der Schocks

-> Normalverteilung (Standartannahme) oder t-Verteilung (fette Enden)

1. check and refine the model: Ist das geschätzte Modell angemessen?

   1. standardized resiudals: wenn das Modell korrekt ist: Residuen haben keine Autokorrelation oder ARCH Effekte mehr -> wie White Noise

   2. Distribution check: passt die Verteilungsannahme der Residuen? -> JB-Test

   3. Ljung-Box Test: auf Et -> prüft Autokorrelation der Residuen -> ist ARMA Teil okay? Auf Et^2 -> prüft Autokorrelation der Varianz -> gibt es noch ARCH Effekte?

   4. PACF: von Et^2 -> sollte keine signifikanten Spikes aufweisen -> sonst evtl. höhere ARCH/GARCH Ordnung

   5. -> macht R alles impliziet selber ("ausser jb-test)

-> at^2 und ot^2 sind bekannt -> können einfach eingesetzt werden

For h-Steps:

funtioniert nur wenn: a1 + ß1 < 1 -> Volatilität kehrt langfristig zu einem stabilem Niveau zurück

T-GARCH: negative Schocks haben größeren Einfluss, als positive Schocks gleicher Größe

I-GARCH: a1 + ß1 = 1 -> Schocks wirken permanent auf die Volatilität -> keine endliche unbedingte Varianz

GARCH-M: bedingte Varianz geht direkt in Mittelwertgleichung ein -> Zisammenhang Risiko (Volatilität) und erwarteter Rendite (Mittelwert)

Tests for Unit Roots