Prüfung PG

• physikalische Geodäsie beschäftigt sich mit dem Schwerefeld der Erde und dessen Potential

• geometrische Geodäsie beschreibt die Form der Erde, physikalische Geodäsie liefert die physikalische Grundlage für Höhen

• Zentrale Größen: Schwerepotential, bestehend aus Gravitationspotential und Zentrifugalpotential sowie das Geoid als Äquipotentialfläche

• praktische Anwendungen sind die Umrechnung von GNSS-Höhen in orthometrische Höhen, die Bestimmung von Masseanomalien und die Modellierung von Satellitenbahnen

• p.G. modelliert Erdschwerefeld als Potentialfeld und beschreibt Abweichung vom Normalfeld

• Geoid ist eine Äquipotentialfläche des Erdschwerefeldes (der realen Schwere), die dem mittleren Meeresspiegel entspricht und sich unter den Kontinenten fortsetzt (Normalschwere bezieht sich auf das Referenzellipsoid)

• es ist eine physikalisch definierte Fläche, auf der das Schwerepotential konstant ist

• der Schwerevektor steht überall senkrecht auf dem Geoid

• aufgrund der inhomogenen Masseverteilung ist es eine unregelmäßige Fläche (Form wie z.B. Kartoffel)

• Praktisch dient es als Referenzfläche für orthometrische Höhen, wobei der zusammenhang H = h-N gilt

• Randwertproblem: Die Geoidbestimmung ist ein Neumann-Randwertproblem, weil das Störpotential außerhalb der Massen die Laplace-Gleichung erfüllt und an der Erdoberfläche die Schwereanomalien – also die Ableitung des Potentials – als Randbedingung vorgegeben sind.

• konst. Schwere:

  • auf ÄPF wird keine Arbeit gegen die Schwerkraft verrichtet

  • wäre Schwere konstant aber Potential nicht, würde Potentialunterschied entstehen

  • Entscheidend ist die konstanz des Potentials, nicht die Schwerebeschleunigung

• Geoid nicht direkt messbar, da es unter der Erdoberfläche liegt, kann nicht direkt beobachtet werden, muss aus Schweremessungen und Potentialtheorie indirekt bestimmt werden

• das Schwerepotential ist ein Skalares Feld V (x,y,z), das die potenzielle Energie pro Masseeinheit im Schwerefeld beschreibt

• die Schwerebeschleunigung erhält man als negativen Gradienten des Potentials (g = minus Nabla V)

• Minuszeichen zeigt, das die Kraft in Richtung des Stärksten Potentialabfalls wirkt

• Erdschwerepotential setzt sich zusammen aus dem Gravitationspotential der Erdmasse und dem Zentrifugalpotential aufgrund der Erdrotation

• Schwere= gemessene Beschleunigung aufgrund des Erdschwerefeldes

• Schwereanomalie ist die Differenz zwischen gemessener Schwere und der Normalschwere des Referenzellipsoids

• GNSS-Höhen liefert ellipsoidische Höhen h, die sich auf ein Referenzellipsoid beziehen, diese Höhen sind rein geometrisch definiert und enthalten keine Informationen über das Erdschwerefeld

• für praktsiche Anwendungen benötigen wir jedoch physikalisch definierte Höhen, also orthometrische Höhen H, die sich auf das Geoid als Äquipotentialfläche des schwerefeldes beziehen

• um von ellipsoidischen Höhen zu orthometrischen Höhen zu gelangen, gilt die Gleichung H=h-N, wobei N die Geoidundulation ist, also der Abstand zwischen Referenzellipsoid und Geoid, das Geoid muss dabei aus Schwerefeldmodellen bestimmt werden, beispielsweise durch Kugelfunktionsentwicklung

• resultierende Genauigkeit ist nicht mit der Qualität des geometrischen Nivellements vergleichbar, Nivellement im mm-Bereich und GNSS-basierte Höhen typischerweise nur cm Bereich, Ursachsen sind unter anderem atmosphärische Einflüsse, Mehrwegeffekte sowie unsicherheiten im verwendeten Geoidmodell. GNSS ersetzt nicht das Präzisionsnivellement, sondern es ergänzt es

• bei Euler wird die Steigung am Anfang des Intervals verwendet, um den nächsten Wert zu bestimmen. Es ist ein Verfahren 1. Ordnung, das heißt der globale Fehler ist proportional zur Schrittweite h. Es ist einfach und schnell, kann jedoch bei größeren Schrittweiten ungenau oder instabil werden

• Heun-Verfahren, auch explizit Runge-Kutta-Verfahren 2. Ordnung, berechnet zunächst eine Euler-Vorhersage und verwendet dann die gemittelte Steigung aus Anfangs- und Endpunkt. Dadurch erreicht es eine Genauigkeit zweiter Ordnung.

• RK4-Verfahren verwendet vier Steigungen pro Schritt und kombiniert diese gewichtet. Es besitzt Fehlerordnung vier und liefert bei gleicher Schrittweite deutlich genauere und stabliere Ergebnisse als Euler oder Heun. Es stellt daher einen guten Kompromiss zwischen Rechenaufwand und Genauigkeit dar.

• Wenn du die Schrittweite halbierst:

  • Euler → Fehler halbiert sich

  • Heun → Fehler wird etwa 4-mal kleiner

  • RK4 → Fehler wird etwa 16-mal kleiner

  👉 Das ist der riesige Unterschied.

• Man unterscheidet:

  • Lokaler Fehler (Fehler pro Schritt)

  • Globaler Fehler (Fehler über das gesamte Intervall)

• Die Ordnung eines Verfahrens beschreibt, wie sich der globale Fehler mit der Schrittweite verhält. Beim Euler-Verfahren ist der Fehler proportional zu hhh, also erster Ordnung. Halbiert man die Schrittweite, halbiert sich auch der Fehler.

Schrittweite:

Schrittweiten hängen ab von:

• Glattheit der Funktion

• Krümmung

• gewünschter Genauigkeit

Allgemein gilt:

• Euler: benötigt sehr kleine Schrittweiten wegen Fehlerordnung O(h)

• RK2: größere Schritte möglich, Fehler O(h^2)

• RK4: deutlich größere Schritte möglich, Fehler O(h^4)

Euler wird ungenau:

• bei stark gekrümmten Lösungen

• bei zu großen Schrittweiten

• bei instabilen Differentialgleichungen

Je höher die Potenz, desto schneller sinkt der Fehler bei kleiner werdendem h.

• Idee:

  • Clenshaw ist eine rückwärts gerichtete Rekursion, um Polynome (z.B. Legendre- oder Tschebyscheff-Polynome) numerisch stabil auszuwerten.

  • Man beginnt bei zN+1=zN+2=0 und arbeitet rückwärts bis z0​.

• Clenshaw-Algorithmus dient zur effizienten und numerisch stabilen Auswertung von Reihenentwicklungen, deren Basisfunktionen eine Drei-Punkt-Rekursion erfüllen, beispielsweise Legendre oder Tschebyscheff-Polynome

• Anstatt der Summe f(x) = Summe von n=0 bis N c(n) mal Pn(x) direkt auszuwerten, verwendet Clenshaw eine Rückwärtsrekursion mit zwei Hilfsgrößen. Diese beruhen auf den Rekursionskoeffizienten der Basisfunktion, häufig bezeichnet als α(x) und β(x).

• Vorteil:

  • vermeidet direkte Berechnung hochgradiger Polynome und nutzt Rückwärtsrekursion

  • numerische Instabilitäten und Rundungsfehler (Verechnung große und kleine zahlen) bei hohen Graden dadurch reduziert

• für Polynome mit Drei-Punkt-Rekursion

Wann Horner?

• wird zur effizienten Auswertung klassischer Polynome in Monombasis verwendet

• reduziert die Anzahl der Multiplikationen und ist rechentechnisch effizient

• für Legendre und Tschebyscheff nicht geeignet, da diese Polynome nicht in Monombasis sondern rekursiv sind, da ist Clenshaw stabiler und effizienter

• Sehne ist die direkte gradlinige Verbindung zwischen zwei Punkten im dreidimensionalen Raum. Sie verläuft durch das Erdinnere und ist daher keine Verbindung entlang der Erdoberfläche

• Kleinkreis entsteht als Schnitt einer Ebene mit einer Kugel, wobei die Ebene nicht durch den Kugelmittelpunkt geht. Breitenkreise sind typische Kleinkreise. Eine Verbindung eines Kleinkreises ist im allgemeinen nicht die kürzeste Strecke zwschen zwei Punkten

• Orthodrome hingegen ist ein Großkreis, also der Schnitt einer Ebene durch den Kugelmittelpunkt mit der Kugeloberfläche. Großkreise sind geodätische Linien auf der Kugel und stellen die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten auf der Kugeloberfläche dar

• daher ist Orthodrome die kürzeste Verbindung auf einer Kugel.

• Der fundamentale Unterschied liegt im Bezugsniveau und im verwendeten Schwerefeld.

  1️⃣ Geometrische (ellipsoidische) Höhe h

  Die geometrische Höhe ist der rein geometrische Abstand entlang der Ellipsoidnormalen zwischen einem Punkt und einem Referenzellipsoid (z. B. World Geodetic System 1984).

  Sie enthält keine Information über das Erdschwerefeld. GNSS liefert direkt diese Höhe.

• 2️⃣ Orthometrische Höhe HHH

  Die orthometrische Höhe ist der Abstand eines Punktes vom Geoid, gemessen entlang der Lotlinie.

  Sie ist physikalisch definiert über die Potentialdifferenz zwischen Punkt und Geoid:

  H=C/g​

  Dabei ist C die geopotentielle Zahl und g quer​ die mittlere reale Schwere entlang der Lotlinie.

  👉 Problem: Die mittlere reale Schwere im Erdinneren ist nicht direkt messbar.

• Normalhöhe NHN

  Die Normalhöhe wird ebenfalls aus der geopotentiellen Zahl bestimmt, jedoch mit der Normalschwere des Referenzellipsoids statt der realen Schwere:

  NHN=C/γ​

  Sie bezieht sich auf das Quasigeoid.

  👉 Vorteil: Man benötigt keine Kenntnis der inneren Massenverteilung. Deshalb sind Normalhöhen praktisch realisierbar und werden in vielen Ländern verwendet.

• Kernunterschied in einem Satz

  • Geometrische Höhe → rein geometrisch, kein Schwerebezug

  • Orthometrische Höhe → physikalisch korrekt, aber innenliegende Schwere unbekannt

  • Normalhöhe → praktische physikalische Lösung mit Normalschwere

• Geoid: Äquipotentialfläche des realen Erdschwerefeldes. Bezugsfläche für orthometrische Höhen.

• Quasigeoid: Bezugsfläche der Normalhöhen; entsteht aus dem Störpotential unter Verwendung der Normalschwere. Es ist keine Äquipotentialfläche des realen Schwerefeldes.

Der entscheidende Unterschied:

👉 Das Geoid ist eine physikalische Äquipotentialfläche. 👉 Das Quasigeoid ist eine rechnerische Referenzfläche im Normalschwerefeld.

• Im Gebirge unterscheiden sich reale Schwere und Normalschwere stärker aufgrund der Topografie und Massenverteilung. Daruch wächst die Differenz zwischen orthometrischer Höhe und Normalhöhe, was zu größeren Abweichungen zwischen Geoid und Quasigeoid führt.

• T=W-U (Störpotential=Erdschwerepotential minus Normalpotential)

• Das Störpotential T ist die Differenz zwischen dem realen Erdschwerepotential W und dem Normalpotential U des Referenzellipsoids.

• beschreibt die Abweichungen des realen Schwerefeldes vom idealisierten Normalfeld und ist die zentrale Größe zur Bestimmung von Geoid, Schwereanomalien und Lotabweichungen.

• direkt proportional zur Geoidundulation

• Da die Geoidundulation proportional zum Störpotential ist, ist dessen Bestimmung zentral für die Geoidberechnung.

Zuerst: Potential-Bezeichnungen sauber halten

In der physikalischen Geodäsie gilt:

• W = reales Erdschwerepotential (Gravitation + Zentrifugalanteil der realen Erde)

• U = Normalpotential (Potential eines idealisierten Referenzellipsoids)

• T = Störpotential

Und jetzt kommt die zentrale Beziehung:

T=W−U​

also:

W=U+T

Was ist das Störpotential?

Das Störpotential T beschreibt die Abweichung des realen Erdschwerefeldes vom Normalfeld des Referenzellipsoids.

Physikalisch bedeutet das:

• Wenn die Erde perfekt rotationsellipsoidisch wäre → T=0

  Alle Massenanomalien (Gebirge, Dichteunterschiede, Ozeanbecken etc.) erzeugen T

Warum ist T so wichtig?

Weil:

👉 Geoid, Schwereanomalien und Lotabweichungen lassen sich direkt aus T ableiten.

Zum Beispiel:

• Geoidundulation N ≈ proportional zu T

• Schwereanomalie hängt mit Ableitungen von T zusammen

Das gesamte praktische Rechnen der physikalischen Geodäsie läuft im Prinzip über das Störpotential.

Außerhalb der Massen verschwindet die Massendichte ρ(rho), sodass sowohl das reale Potential W als auch das Normalpotential U die Laplace-Gleichung erfüllen. Da das Störpotential T=W−U ist, erfüllt auch T außerhalb der Massen die Laplace-Gleichung.

Korrekte Herleitung (prüfungsreif)

Außerhalb der Massen gilt:

Für das reale Potential W:

ΔW=0

Für das Normalpotential U:

ΔU=0

(Beide erfüllen außerhalb der Massen die Laplace-Gleichung, weil dort keine Massendichte ρ(rho) vorhanden ist → Poisson-Gleichung reduziert sich zu Laplace.)

Da:

T=W−U

folgt:

ΔT=ΔW−ΔU=0−0=0

👉 Also erfüllt auch das Störpotential außerhalb der Massen die Laplace-Gleichung.

Das ist eine sehr typische Theoriefrage — und wichtig für:

• Kugelfunktionsentwicklung

• Randwertprobleme

• Geoidbestimmung

1. Dirichlet: Potentialwerte vorgegeben

2. Neumann: Ableitungen (z.B. Schwereanomalien) vorgegeben → Geoidbestimmung

3. Gemischt: Kombination aus Potential + Ableitung

In der physikalischen Geodäsie treten Dirichlet-, Neumann- und gemischte Randwertprobleme auf.

Bei der Geoidbestimmung liegt typischerweise ein Neumann-Randwertproblem vor, da an der Erdoberfläche Schwereanomalien – also Ableitungen des Potentials – gegeben sind und daraus das Störpotential im Außenraum bestimmt werden muss.

• Geozentrisch (zentrisch): Achsen verlaufen durch den Erdmittelpunkt → Ellipsoid ist im Erdmittelpunkt zentriert

  Bsp: WGS84, GRS80

• Nicht-geozentrisch (exzentrisch): Achsen nicht exakt durch Erdmittelpunkt → regional angepasst

  Bsp: Bessel, Krassowski

Damit ist der Unterschied physikalisch klar, nicht nur historisch.

• Das Bouguer-Modell ersetzt die zwischen Messpunkt und Bezugsfläche liegende Gesteinsmasse durch eine unendlich ausgedehnte homogene Platte konstanter Dichte.

• Damit wird die zusätzliche gravitative Anziehung dieser Masse rechnerisch entfernt.

• Die Annahmen sind: ebenes Gelände, konstante mittlere Dichte und unendliche Ausdehnung.

• Die Bouguerkorrektur beträgt etwa 0,1119ρ mGal/m, zusätzlich wird die Freiluftkorrektur von ca. 0,30860 mGal/m berücksichtigt.

• Die Platte wird als unendlich ausgedehnt angenommen, weil sich dadruch das Gravitationsfeld einfacher berechnen lässt, ebenso ist Schwerewirkung unabhängig vom abstand zur platte, nur von der Dichte. Bei endlicher Ausdehnung müsste das Feld durch komplexe Integration bestimmt werden und wäre ortsabhängig

• Kugelfunktionen ermöglichen die Lösung der Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten

• Sie erlauben die globale Darstellung des Erdpotentials durch eine Reihenentwicklung

• nicht lineare Modelle können nicht direkt in der linearen Ausgleichung gelöst werden

• das wird mittels der Taylor-Reihenentwicklung in eine lineare Form überführt

  
  

• Das zentrale Mathematische Fundament ist die Potentialtheorie mit der Lösung der Laplace- bzw. Poisson-Gleichung.

• C= w0 - W(P)

• Differenz des Schwerepotentials zwischen Geoid und einem Punkt und entspricht der Arbeit pro Masseeinheit, um diesen Punkt zum Geoid zu bewegen

• wenn delta V = 0

• Erfüllung der Laplacegleichung

• im Gebiet keine Massenquellen

• JA!

• weil dort keine Massendichte rho vorhanden ist, rho = 0

• Poissongleichung wird zur Laplacegleichung

• Kugelfunktionen sind global orthogonal auf der ganzen Kugel

• lokal konvergieren sie schlecht und benötigen hohe Grad N

• Abweichung des Ellipsoids von der Kugel, also der Abplattung, e= Wurzel (a2 + b2)

Instrumenttypen:

• Absolutgravimeter → direkte Messung der Schwerkraft durch Fallkörper / Laserinterferometrie.

• Relativgravimeter → Differenzmessung gegenüber Referenz.

• Supraleitgravimeter → extrem hohe Empfindlichkeit, verwendet supraleitende Magneten.

• Gradiometer → misst Schweregradienten (räumliche Unterschiede).

• Schiffsgravimetrie → Gravimessung auf See, z. B. für Ozeanographie.

Astasierung:

• Wird genau bei Relativgravimetern nach dem Waagebalkensystem eingesetzt.

• Sie verstärkt die Reaktion der Waage auf Gravitation, typischerweise Faktor 2000, sodass auch kleine Änderungen der Schwere messbar werden.

• Die Analogie zur Wasserwaage ist gut: Die kleine Neigung des Balkens wird vergrößert sichtbar.