2. Instationäre Wärmeleitung

Die Temperatur im Körper ändert sich mit der Zeit.

Im Gegensatz zur stationären Wärmeleitung ist das Temperaturfeld zeitabhängig:

Hauptziel: Die Bestimmung des zeitabhängigen Temperaturfeldes im Körper.

1. Aufheizen eines Körpers

2. Abkühlen eines Körpers

3. Start- und Übergangsprozesse

4. Temperaturänderungen durch wechselnde Randbedingungen

Auf der Energieerhaltung (1. Hauptsatz der Thermodynamik) für ein infinitesimales Volumenelement.

Damit lokale Temperaturänderungen und Wärmeströme exakt beschrieben werden können.

1. Wärmezufuhr durch Leitung

2. Wärmeabfuhr durch Leitung

3. Wärmeerzeugung im Volumen (z. B. elektrische oder nukleare Quellen)

Wie sich Temperatur aufgrund von Wärmeleitung und eventuell inneren Quellen zeitlich und räumlich entwickelt.

Eine partielle Differentialgleichung (PDE) parabolischen Typs.

sie ist parabolisch, Weil sie eine erste Ableitung nach der Zeit und zweite Ableitungen nach dem Ort enthält.

1. Wärmeleitfähigkeit λ

2. Dichte ρ

3. spezifische Wärmekapazität c

Diese bestimmen, wie schnell sich Temperatur ändert

a = λ / (ρ c)

Sie beschreibt, wie schnell sich Temperaturstörungen im Material ausbreiten.

Metalle — sie reagieren schnell auf Temperaturänderungen. Eisen und Silber

Isolierende Materialien wie Ziegel oder Fett.

Wenn Temperaturänderungen nur in einer Raumrichtung wesentlich sind.

Häufige Vereinfachung in Technikproblemen

Sie reduziert die mathematische Komplexität stark und liefert dennoch gute Näherungen.

Weil die Temperatur zeitabhängig ist — man muss den Startzustand kennen.

Beispiel: Temperaturverteilung zum Zeitpunkt t = 0

1. Vorgegebene Temperatur (1. Art) = Die Oberfläche wird auf einer festen Temperatur gehalten. Beispiel: Kontakt mit großem Wärmereservoir.

2. Vorgegebener Wärmestrom (2. Art) = Der Wärmestrom über die Oberfläche ist vorgegeben. Sonderfall: adiabate Oberfläche → Wärmestrom = 0

3. Wärmeübergang an Fluid (3. Art) = Wärmeübergang zwischen Oberfläche und Fluid durch Konvektion. Realistischster Fall in technischen Anwendungen.

Es entsteht ein Wärmestrom (Q^°)abhängig vom Kontaktwiderstand.

1. Analytische Methoden = Nur bei einfachen Geometrien und Randbedingungen -> Seperationsansatz, Laplace, Greensche Funktion

2. Numerische Methoden = Erfüllung RB mit Differenzverfahren oder Methode finite Elemente

Um zeitabhängige Differentialgleichungen in einfachere algebraische Gleichungen umzuwandeln.

Zeitbereich → Frequenzbereich

Lösung: u=uhom+upart

u_hom = C1*e^(- sqrt(s/a)x)+C2e^(+sqrt(s/a)x)

C1 und C2 durch RB bestimmen

u_part = “raten”

Sie wird zu einer Multiplikation mit der Laplace-Variable.

Erleichtert die Lösung enorm.

Ein Körper, der in eine Richtung so groß ist, dass Randwirkungen vernachlässigt werden können.

Modell für oberflächennahe Prozesse

Wenn Temperaturänderungen nur in einer dünnen Randzone auftreten.

Um nur eine Hälfte betrachten zu müssen und das Problem zu vereinfachen.

Das Temperaturfeld nähert sich einem stationären Zustand an.

Für unendlich lange Zeit nährt sich das Temperatur Feld der Fluidtemperatur

1. Betrachtung einseitig unendlich ausgedehnter Körper

2. Einsetzen Wärmestrom und Wärmestromdichte

1. Aufstellung Wärmeleitungsgleichung

2. Aufstellen Anfangs und Randbedingungen

3. Betrachtung eindimensionaler Fall

4. Analytische Lösung mithilfe Laplace-Transfomation

5. Betrachtung einseitig unendlich ausgedehnter Körper

6. Einsetzen Wärmestrom und Wärmestromdichte

7. Einführen dimensieonsloser Variablen auf Wärmeleitungsgleichung

8. Einsetzen dimensionsloser Variabeln um allgemeinen Fall zu schaffen

9. Lösung der DGL mit Produktansatz

10. Entsteht Eigenfunktionen, die Temperaturverläufe beim Abkühlen/Aufheizen beschreibt.

Die 2. Ableitung beschreibt Krümmung des Temperaturfelds:

Die analytische Lösung findet man mit:

• der Laplace-Transformation

• oder dem Produktansatz Theta (x,t) = f(x) * g(t) => ausnutzung der Symmetrie + dimensionslose Darstellungen

dimensionslose Ortsvariable: 𝜉=𝑥/𝛿

dimensionslose Zeitvariable: η=a⋅t/δ^2 => Fourier Zahl Fo

dimensionslose Temperaturdifferenz: Θ=𝜗−𝜗𝐹/𝜗0−𝜗𝐹

t=0 : 𝜗(x,0)=𝜗_0 => η=0: Θ(𝜉,0)=1

x=0: d𝜗/dx=0 => 𝜉=0: dΘ/d𝜉=0

x=𝛿: -λ d𝜗/dx=α(𝜗-𝜗_F) =>𝜉=1: -dΘ/d𝜉= Bi*Θ

Biot-Zahl: Bi=α*𝛿/λ

Θ(𝜉,η)=F(𝜉)*G(η)

F (dG/dη)=G(d^2F/d𝜉^2) => 1/G*(dG/dη)=1/F *(d^2F/d𝜉^2)= -μ^2

dG/dη+μ^2*G=0 ; d^2F/d𝜉^2+μ^2*F

G(η) abklingende Exponentialfunktion G(η)= C*exp(-μ^2*η)

F(𝜉) Schwingungs-DGL F(𝜉)= C1cos(μ*𝜉)+C2*sin(μ*𝜉)

Um C1 auszurechnen RB einsetzen => C2=0, weil 𝜗 beschränkt ist

Θ(𝜉,η)= ∑ Ci*cos(μi*𝜉)*exp(-μi^2*η)

Ci= (2*sin(μi))/(μi+sin(μi)*cos(μi))

μi= Eigenwerte

Die Eigenwerte μi sind die Lösungen der transzendenten Gleichung:

μ*tan(μ)=Bi