Mengen, Wahrscheinlichkeit, Verteilungen

by Jonathan K.

Wie definiert man Schätzung (“estimation”)?

Inferenz eines unbekannten Populationsparameters auf Grundlage einer Stichprobe

Was bedeuten Permutation und Kombination beim Zählen?

Permutation: Die Reihenfolge der Auswahl spielt eine Rolle

Kombination: Die Reihenfolge der Auswahl spielt keine Rolle

Wie definiert man Parameter?

numerische Größe zur Beschreibung einer Grundgesamtheit (Population)

Wie definiert man Schätzer?

aus Stichprobendaten berechnete Größe zur Approximation eines Parameters

Welche Interpretationsweisen für Wahrscheinlichkeit gibt es?

klassische modellbasierte Laplaceinterpretation
- Wahrscheinlichkeit über Symmetrie möglicher Ergebnisse
- Annahme, dass alle Ergebnisse eines Experiments a priori gleich wahrscheinlich sind, z.B. fairer Würfel mit Ergebnis gerade Zahl 50% und ungerade Zahl 50%
Frequentistische Interpretation (Häufigkeit des Auftretens):
- Wahrscheinlichkeit als relativer Anteil von Erfolgen in einer ausreichend großen Anzahl gleichartiger Wiederholungen, z.B. 1000 Münzwürfe
Bayesianische Interpretation
- Wahrscheinlichkeit als Grad rationaler Überzeugung (degree of belief) über eine Aussage oder Hypothese
- Überzeugungen werden durch Beobachtungen aktualisiert, z.B. Wahrscheinlichkeit, dass ein Medikament wirkt, posterior, kann durch Vorwissen aus früheren Studien, prior, und neuen klinischen Daten berechnet werden)
Subjektive interpretation
- Wahrscheinlichkeit als Grad der Überzeugung bei einmaligen Ereignissen (z.b. ein Wissenschaftler bewertet die Wahrscheinlichkeit mit 90%, dass Ilias und Odyssee von dergleichen Person geschrieben wurden)

Wie definiert man Menge (“set”)?

Sammlung von Elementen

Was ist eine überabzählbare Menge?

uncountable, nimmt kontinuierlichen Wertebereich an

Wie schreibt man S ist eine Teilmenge von T?

Was ist die Grundmenge?

Was ist die Kardinalität (“cardinality”) einer Menge?

Was ist das Komplement (“complement”) einer Menge?

Was ist die Vereinigung (“union”) zweier Mengen S und T?

Was ist der Schnitt (“intersection”) zweier Mengen S und T?

Wie wird die Vereiningung bzw der Schnitt mehrerer oder unendlich vieler mengen bezeichnet?

Was bedeutet es, wenn eine Menge disjunkt (“disjoint”) ist?

ihr Schnitt ist leer

allgemeiner: Mehrere Mengen sind disjunkt, wenn kein Paar von ihnen ein gemeinsames Element hat

Was ist die Partition einer Menge S?

Kollektion von disjunkten Mengen, deren vereinigung S ergibt

Wie wird die schattierte Fläche beschrieben?

Welche Mengenoperationen lassen sich durchführen?

Was ist der Ergebnisraum Ω (“sample space”, “set of outcomes”)?

Menge aller möglichen Ergebnisse ω eines Experiments

Wie wird eine Teilmenge des Ergebnisraums genannt? Was ist ein Elementarereignis?

Ereignis (“event”)

Ein Ereignis, das genau ein Element enthält.

Welche Eigenschaften hat der Ergebnisraum?

kann endlich (“finite”) oder unendlich (“infinte”) sein
Elemente müssen eindeutig (“mutually distinguishable”,”distinct”) und gegenseitig exklusiv (“mutually exclusive”) sein
kollektiv erschöpfend (“collectively exhaustive”) —> Jedes mögliche Ergebnis des Experiments enthalten
genau genug sein, um alle für das Modell relevanten Ergebnisse zu unterscheiden ohne unnötige Details

Wie ist die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung endlich vieler disjunkter Ereignisse definiert?

Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten

Was beschreibt das diskrete Wahrscheinlichkeitsgesetz? (“discrete probability law”)

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner Elemente

Was beschreibt das Gleichverteilungswahrscheinlichkeitsgesetz (“discrte uniform probability law”)?

P(A)=Anzahl der Elemente von A/n

Was besagt das kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsgesetz?

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f