In welche Typen können lineare, partielle Differentialgleichungen der Ordnung 2 eingeteilt werden?
parabolisch, hyperbolisch, elliptisch. Allgemein: P-DGL 2. Ordnung mit Ableitungen nach Koordinaten; Einteilung über Koeffizienten/Eigenwerte.
Nennen Sie Beispiele für diese unterschiedlichen Typen.
Parabolisch: Fourier/Wärmeleitung: Tdot = a ΔT. Elliptisch: stationäre Probleme, z. B. Laplace/Poisson. Hyperbolisch: Wellengleichung, z. B. u_tt/c^2 − Δu = 0.
Welche drei Gleichungsgruppen benötigt man zur Beschreibung zeitabhängiger Vorgänge mit partiellen Differentialgleichungen bezüglich Ort und Zeit?
Feldgleichungen, Randbedingungen, Anfangsbedingungen.
Welche Arten von Randbedingungen gibt es? Nennen Sie Beispiele!
Dirichlet-RB: vorgegebener Wert, z. B. φ(x)=f(x) auf F. Neumann-RB: vorgegebene Normalableitung/Fluss, z. B. ∇φ·n = q(x). Gemischte/Robin-RB: Linearkombination, z. B. ∇φ·n + α φ = f.
Nennen Sie Diskretisierungsprinzipien
Finite Differenzen, Finite Volumen, Finite Elemente
Nennen Sie Beispiele dafür, welche Prinzipien für bestimmte Problemarten eingesetzt werden.
Finite Volumen: kontinuumsmechanische/strömungsmechanische Probleme, Erhaltung über Kontrollvolumina. FEM: strukturmechanische Probleme, Approximation über Ansatzfunktionen und schwache Form.
Nennen Sie Beispiele für partielle Differentialgleichungen, die zur Beschreibung von Strömungen dienen.
Naiver Stokes
Welches Diskretisierungsprinzip wird häufig in der Strömungsmechanik eingesetzt?
Finite-Volumen-Methode; Erhaltung von Masse, Impuls und Energie über Kontrollvolumina.
Warum kann man das Hamiltonsche Prinzip für viele strömungsmechanische Fragestellungen nicht einsetzen?
Konservative Prinzipien passen nicht allgemein für dissipative Vorgänge; viele reale Strömungen sind dissipativ/viskos, daher nicht direkt über Hamilton formulierbar.
Wie nennt man die bei der Diskretisierung eingesetzten Punkte in FEM und FVM?
FEM: Knoten. FVM: Gitterpunkte/Zellmittelpunkte.
Welche Möglichkeiten zur mathematischen Beschreibung der Bewegung materieller Teilchen kennen Sie?
Eulersche Beschreibung: ortsfeste Beobachtung. Lagrangesche Beschreibung: materielle bzw. teilchenfeste Beobachtung.
Nennen Sie ein Beispiel für eine netzfreie Methode.
SPH: Smoothed Particle Hydrodynamics.
Erläutern Sie den Unterschied zwischen Ansatzfunktionen der klassischen FEM und der äußeren Approximation.
Klassische FEM: Ansatzfunktionen lokal/elementweise definiert. Äußere Approximation: Ansatz wird über außerhalb/überlappend liegende Stützbereiche bzw. Nachbarschaften aufgebaut. [handschriftlich nur teilweise sicher lesbar]
Erläutern Sie die Idee der Randelemente-Methode und Anwendungsgebiete.
Grundidee: Volumenintegral wird in ein Oberflächenintegral überführt; dadurch wird ein 3D-Problem durch ein 2D-Problem auf dem Rand beschrieben. Anwendungen u. a. Akustik, Potential-/Feldprobleme. Nachteil: volle/unsymmetrische Matrizen, hoher Aufwand bei 3D.
Welchen Vorteil bezüglich der Vernetzung besitzt die BEM?
Nur der Rand bzw. die Oberfläche muss vernetzt werden; keine Volumenvernetzung nötig.
Nennen Sie Beispiele für einfache Spannungsverteilungen.
Einachsiger Spannungszustand bzw. einfacher Spannungstensor.
Wodurch wird der allgemeine Spannungszustand beschrieben?
Durch den Spannungstensor S, eine 3×3-Matrix.
Welche Eigenschaften hat der Spannungstensor?
Tensor 2. Stufe, bei Boltzmann-Kontinuum symmetrisch; 6 unabhängige Komponenten.
Wie viele unabhängige Komponenten existieren im Spannungstensor?
6
Wie transformiert sich der Spannungstensor bei Koordinatenwechsel?
S’ = D S D^T.
Welche Eigenschaften erhält man aus dem Momentengleichgewicht?
Symmetrie vom spannungstensor
Was sind Hauptachsen und Hauptspannungen?
Hauptachsen: Koordinatensystem, in dem der Spannungstensor diagonal ist. Hauptspannungen: Eigenwerte σ1, σ2, σ3.
Welche Gestalt hat der Spannungstensor im Hauptachsensystem?
Diagonalform: diag(σ1, σ2, σ3)
Nennen Sie ein Beispiel für eine Invariante des Spannungstensors.
Spur des Spannungstensors bzw. Summe der Hauptspannungen; weitere Invarianten aus Determinante/charakteristischem Polynom.
Wie kann der Spannungstensor zerlegt werden?
In hydrostatischen Anteil und deviatorischen Anteil: S = T + P bzw. S = Dev(S) + pI. [Notation im Skript handschriftlich]
Erläutern Sie anschaulich den hydrostatischen Spannungszustand.
Gleicher Druck/Zug in alle Richtungen; nur Normalspannungen, keine Schubspannungen. P = diag(p,p,p).
Für welche Deformation ist der Spannungsdeviator von Bedeutung?
Für gestaltändernde/plastische Deformation von Stahl. [handschriftlich: „plastische Deformation von Stahl“]
Welche Bauteile kann man unter ebenem Spannungszustand berechnen?
Blechbauteile, dünnwandige Strukturen; elastische Annahme.
Wodurch kann der ebene Spannungszustand graphisch veranschaulicht werden?
Mohrscher Spannungskreis.
Wie werden Verzerrungen allgemein zusammengefasst?
Im Verzerrungstensor V bzw. als Tensor 2. Stufe.
Welche Eigenschaften hat der Verzerrungstensor?
Analog zum Spannungstensor: symmetrischer Tensor 2. Stufe.
Wie transformiert sich der Verzerrungstensor bei Koordinatenwechsel
V’ = D V D^T.
Was sind Hauptachsen und Invarianten des Verzerrungstensors?
Hauptachsen: System, in dem V diagonal ist. Invarianten analog zum Spannungstensor, z. B. Spur/Determinante.
Wodurch werden Verzerrungs- und Spannungstensor in Beziehung zueinander gesetzt?
Durch das Materialgesetz/Hookesches Gesetz; Zusammenhang zwischen Spannung S und Verzerrung V über Material-/Elastizitätstensor.
Wie viele Komponenten hat der Tensor der Materialkonstanten?
Tensor 4. Stufe mit 3^4 = 81 Komponenten; bei Symmetrien deutlich weniger.
Durch wie viele unabhängige Komponenten wird ein elastischer homogener isotroper Werkstoff beschrieben?
2 unabhängige Konstanten, z. B. E und ν bzw. Lamé-Konstanten.
Nennen Sie Materialkonstanten zur Beschreibung eines linear elastischen, homogenen, isotropen Werkstoffs.
E Modul E, Querkontraktionszahl ν, Schubmodul G; alternativ Lamé-Konstanten.
Wie erhält man die Formänderungsenergie?
Über Integration der spezifischen Formänderungsenergie im Volumen, z. B. W = ∫ Ws dV mit Ws = 1/2(σx εx + σy εy + …).
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