Was ist ein Stellenwertsystem (polyadisches Zahlensystem)?
Ein Zahlensystem, in dem der Wert einer Ziffer von ihrer Position abhängt: Stelle j hat den Stellenwert B^j (B = Basis). — Der Zahlenwert ergibt sich aus der Summe Ziffer · Stellenwert. Beispiel: Dezimalsystem (B=10).
Wie berechnet sich der Wert einer M-stelligen Zahl n(B)?
n(B) = Σ (i=0 bis M-1) bi · B^i, d.h. jede Ziffer bi mal B hoch ihrer Position. — Bedingungen: B ∈ ℕ, B ≥ 2; Ziffern 0 ≤ bi < B. MSD = höchstwertige, LSD = niederwertigste Ziffer.
Welche Basis und welche Ziffern haben Dual-, Oktal-, Dezimal- und Hexadezimalsystem?
Dual: B=2, Ziffern {0,1}. Oktal: B=8, {0..7}. Dezimal: B=10, {0..9}. Hexadezimal: B=16, {0..9, A..F}. — Knackpunkt: Hex-Buchstaben A,B,C,D,E,F = 10,11,12,13,14,15.
Wie viele Zahlen lassen sich mit einer M-stelligen (vorzeichenlosen) Dualzahl darstellen, und welcher Wertebereich?
2^M verschiedene Werte, Bereich 0 … 2^M − 1. — Beispiel: M=8 → 256 Werte, 0…255. M=7 → 128 Werte, 0…127.
Verfahren: Wie wandelt man eine Zahl n(B) ins Dezimalsystem um?
Jede Ziffer mit ihrem Stellenwert B^i multiplizieren und aufsummieren (Polynomauswertung). — Beispiel: 1011011(2) = 64+16+8+2+1 = 91. Knackpunkt: Stellen von rechts (i=0) nach links zählen.
Aufgabe: Welchen Dezimalwert hat C4F(16)?
C4F = C·16^2 + 4·16^1 + F·16^0 = 12·256 + 4·16 + 15·1 = 3072 + 64 + 15 = 3151(10). — Knackpunkt: C=12, F=15 einsetzen.
Verfahren (Horner-Schema): Wie wandelt man eine Dezimalzahl in die Basis B um?
Fortgesetzte ganzzahlige Division durch B; die Reste von UNTEN nach OBEN gelesen ergeben die Zahl. Der erste Rest ist das LSD, der letzte das MSD. — Knackpunkt: solange dividieren bis Quotient 0; Reste in umgekehrter Reihenfolge notieren.
Aufgabe: Wandle 110(10) mit dem Horner-Schema in eine Dualzahl um.
110:2=55 R0 (LSB), 55:2=27 R1, 27:2=13 R1, 13:2=6 R1, 6:2=3 R0, 3:2=1 R1, 1:2=0 R1 (MSB). Reste von unten: 1101110(2). — Probe: 64+32+8+4+2 = 110.
Aufgabe: Wandle 815(10) in eine Hexadezimalzahl um.
815:16 = 50 R15(=F) [LSD], 50:16 = 3 R2, 3:16 = 0 R3 [MSD] → 32F(16). — Probe: 3·256+2·16+15 = 768+32+15 = 815.
Was bedeuten x div B und x mod B?
div = ganzzahliger Quotient (abrunden), mod = ganzzahliger Rest der Division. — Beispiel: 17 div 5 = 3, 17 mod 5 = 17 − 3·5 = 2. Beide werden im Horner-Schema gebraucht.
Verfahren: Wann ist eine schnelle Umwandlung zwischen zwei Basen möglich?
Wenn B2 = B1^m (m ∈ ℕ): dann entspricht eine Stelle der Basis B2 genau m Ziffern der Basis B1. — Beispiele: 16 = 2^4 (4 Bit = 1 Hex), 8 = 2^3 (3 Bit = 1 Oktal).
Verfahren: Wie wandelt man eine Dualzahl in eine Hexadezimalzahl um?
Von RECHTS in Vierergruppen (Tetraden) unterteilen, ggf. links mit Nullen auffüllen, jede Tetrade in eine Hex-Ziffer übersetzen. — Knackpunkt: immer von rechts gruppieren! Beispiel: 1101 1001 1110 0101 = D9E5(16).
Aufgabe: Wandle 1A6B(16) in eine Oktalzahl um.
Erst Hex→Dual (Tetraden): 1A6B = 0001 1010 0110 1011. Dann von rechts in 3er-Gruppen (Triaden), auffüllen: 001 101 001 101 011 = 15153(8). — Knackpunkt: Zwischenschritt über das Dualsystem, dann anders gruppieren.
Wie wandelt man eine Hexadezimalzahl in eine Dualzahl um?
Jede Hex-Ziffer durch ihre 4-stellige Dualtetrade ersetzen und aneinanderreihen. — Beispiel: 8AC1(16) = 1000 1010 1100 0001(2). Führende Nullen am MSD dürfen entfallen.
Wie funktioniert die Addition im Dualsystem?
Stellenweise wie im Dezimalsystem mit Übertrag: 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=0 mit Übertrag 1 in die nächste Stelle. — Hinweis: die Addition ohne Übertrag entspricht XOR.
Aufgabe: Berechne 7A3(16) + 2D9(16).
Spaltenweise von rechts: 3+9 = 12 = C; A+D = 10+13 = 23 = 0x17 → Ziffer 7, Übertrag 1; 7+2+1 = 10 = A. Ergebnis: A7C(16). — Knackpunkt: Übertrag entsteht, sobald die Spaltensumme ≥ 16 ist.
Wie kann man eine Subtraktion a − b grundsätzlich als Addition ausführen?
a − b = a + (−b): man addiert die negative Zahl. — Dazu braucht man eine Darstellung negativer Zahlen im Dualsystem (Vorzeichen+Betrag, Einer- oder Zweier-Komplement).
Welche drei Darstellungen für negative Dualzahlen gibt es?
1) Vorzeichen + Betrag (MSB = Vorzeichen), 2) Einer-Komplement (Bits invertieren), 3) Zweier-Komplement (invertieren + 1). — In allen gilt: MSB 0 = positiv, MSB 1 = negativ.
Welche Nachteile hat die Darstellung mit Vorzeichen und Betrag?
Doppelte Null (+0 und −0), unsymmetrische/unstetige Aufteilung, komplizierte Addition/Subtraktion. — Vorteil: einfache Multiplikation/Division. Beispiel M=4: 0100=+4, 1100=−4.
Verfahren: Wie bildet man das Einer-Komplement einer Dualzahl?
Alle Bits bitweise invertieren (0↔1). — Knackpunkt: Stellenzahl M so wählen, dass positive Zahlen eine 0 im MSB haben. Nachteil: doppelte Null (0000=+0, 1111=−0).
Verfahren: Wie bildet man das Zweier-Komplement einer Dualzahl?
Bits invertieren UND anschließend 1 addieren. — Beispiel: +5 = 0101 → invertiert 1010 → +1 = 1011 = −5. Vorteil: nur EINE Null, einfache Addition/Subtraktion.
Verfahren: Subtraktion im Zweier-Komplement (Knackpunkte)?
a − b = a + Zweier-Komplement(b). Beide Zahlen gleiche Stellenzahl M! Entsteht ein Überlauf in Stelle M+1, wird er IGNORIERT. — Ergebnis-MSB=1 → negativ (zur Wertbestimmung erneut Zweier-Komplement bilden).
Verfahren: Subtraktion im Einer-Komplement (Knackpunkte)?
a − b = a + Einer-Komplement(b). Bei Überlauf (1 an Stelle M+1) muss diese 1 wieder addiert werden („Einer-Rücklauf"). — Beide Zahlen gleiche Stellenzahl M. Unterschied zum Zweier-K.: Überlauf wird NICHT ignoriert, sondern zurückaddiert.
Aufgabe: Berechne 7 − 13 im Zweier-Komplement mit 5 Stellen.
13 = 01101 → invert 10010 → +1 = 10011 (= −13). 7 = 00111. 00111 + 10011 = 11010. MSB=1 → negativ; Rückwandlung: invert 00101 +1 = 00110 = 6 → Ergebnis −6. — Probe: 7−13 = −6. ✓
Aufgabe: Berechne 14 − 27 im Zweier-Komplement mit 6 Stellen.
27 = 011011 → invert 100100 → +1 = 100101 (= −27). 14 = 001110. 001110 + 100101 = 110011. MSB=1 → negativ; Rückwandlung: invert 001100 +1 = 001101 = 13 → Ergebnis −13. — Probe: 14−27 = −13. ✓
Aufgabe: Berechne 6 − 2 im Einer-Komplement mit 4 Stellen.
2 = 0010 → Einer-Kompl. 1101 (= −2). 0110 + 1101 = 1 0011 (Überlauf!). Einer-Rücklauf: 0011 + 1 = 0100 = 4. — Probe: 6−2 = 4. ✓ Knackpunkt: Überlauf-Bit zurückaddieren.
Was passiert bei einem Zahlenüberlauf (Overflow) bei der Zweier-Komplement-Subtraktion?
Liegt das Ergebnis außerhalb des darstellbaren Wertebereichs, wird es falsch (z.B. zwei negative Zahlen ergeben scheinbar positiv). — Konsequenz: sicherstellen, dass die Operation im gültigen Wertebereich bleibt.
Welcher Wertebereich ist mit M Bit im Zweier-Komplement darstellbar?
−2^(M−1) … +2^(M−1) − 1 (unsymmetrisch: ein negativer Wert mehr). — Beispiel: 8 Bit → −128 … +127; 4 Bit → −8 … +7.
Wofür steht das niedrigstwertige Bit (LSB) bei der Teilbarkeit durch 2?
Das LSB (Stelle 2^0) entscheidet über die Teilbarkeit: LSB=0 → gerade Zahl (durch 2 teilbar), LSB=1 → ungerade. — Beispiel: 101(2)=5, LSB=1 → ungerade, nicht durch 2 teilbar. 1A(16)=11010(2), LSB=0 → gerade.
Wie sind Zahlenliterale in Python gekennzeichnet (Basis)?
Präfix 0x = Hexadezimal, 0b = Binär, 0o = Oktal, ohne Präfix = Dezimal. — Beispiele: 0x11 = 17, 0b11 = 3, 11 = 11. Knackpunkt: 0x11 ist NICHT elf, sondern 1·16+1 = 17.
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