Was ist ein Stellenwertsystem (polyadisches Zahlensystem)?
Ein Zahlensystem, in dem der Wert einer Ziffer von ihrer Position abhängt; die Stelle j hat den Stellenwert B^j (B = Basis).
Der Zahlenwert ist die Summe der Ziffern mal ihrer Stellenwertigkeit: n = Σ b_i · B^i.
Wie berechnet sich der Wert einer M-stelligen Zahl zur Basis B?
n(B) = Σ_{i=0}^{M-1} b_i · B^i, also b_{M-1}·B^{M-1} + … + b_1·B^1 + b_0·B^0.
b_{M-1} ist das MSD (höchstwertig), b_0 das LSD (niederwertig); für Ziffern gilt 0 ≤ b_i < B.
Welche Ziffern und Basen haben Dual-, Oktal-, Dezimal- und Hexadezimalsystem?
Dual B=2 {0,1};
Oktal B=8 {0–7};
Dezimal B=10 {0–9};
Hexadezimal B=16 {0–9,A–F} (A=10 … F=15).
Wozu dient die Basisangabe n(B), z. B. 1101(2)?
Sie kennzeichnet das verwendete Stellenwertsystem, damit der Wert eindeutig berechenbar ist.
Schreibweisen: tiefgestellte Basis 1101(2), Intel-Stil 1101b/9Fh, Motorola %1101/$9F, C-Stil 0x9F (hex), 0b1101 (binär).
Welchen Wertebereich hat eine vorzeichenlose M-stellige Dualzahl?
0 bis 2^M − 1, also 2^M verschiedene Werte (Elementevorrat).
Beispiele: 8 Bit → 0…255; 16 Bit → 0…65535; 32 Bit → 0…ca. 4,29 Mrd.
Aufgabe: Wie groß ist der Elementevorrat bei 7-stelligen Dualzahlen?
Anzahl darstellbarer Zahlen = 2^7 = 128 (Werte 0 … 127).
Merke: Elementevorrat = 2^M — größter Wert = 2^M − 1.
Aufgabe: 11101011(2) ins Dezimalsystem.
128+64+32+0+8+0+2+1 = 235.
(1·2^7+1·2^6+1·2^5+0+1·2^3+0+1·2^1+1·2^0)
Aufgabe: D2F6(16) ins Dezimalsystem.
D·16^3 + 2·16^2 + F·16^1 + 6 = 13·4096 + 2·256 + 15·16 + 6 = 53248+512+240+6 = 54006.
Aufgabe: 1271(8) ins Dezimalsystem.
1·8^3 + 2·8^2 + 7·8 + 1 = 512 + 128 + 56 + 1 = 697.
Aufgabe: 32144(5) ins Dezimalsystem.
3·5^4 + 2·5^3 + 1·5^2 + 4·5 + 4 = 1875 + 250 + 25 + 20 + 4 = 2174.
Aufgabe: 342(14) ins Dezimalsystem.
3·14^2 + 4·14 + 2 = 588 + 56 + 2 = 646.
Verfahren (Horner-Schema): Umwandlung einer Dezimalzahl in die Basis B?
Fortlaufend durch B teilen, Reste notieren: q=n div B, r=n mod B; mit q weiterrechnen bis q=0. Die Reste von UNTEN nach OBEN gelesen ergeben die Zahl.
Knackpunkt: erster Rest = LSD (rechts), letzter Rest = MSD (links); Reihenfolge nicht vertauschen!
Was bedeuten „x div B“ und „x mod B“?
div = ganzzahliger Quotient (Abrunden von x/B),
17 div 5 = 3,
Bei negativen Zahlen abrunden Richtung −∞:
−46 div 16 = −3
mod = ganzzahliger Rest: x mod B = x − (x div B)·B
17 mod 5 = 2
−46 mod 16 = 2 (auch hier andere Richtung als gewöhnlich)
Aufgabe: 133(10) ins Dualsystem (Horner-Schema).
133:2=66 R1, LSD
66:2=33 R0,
33:2=16 R1,
16:2=8 R0,
8:2=4 R0,
4:2=2 R0,
2:2=1 R0,
1:2=0 R1. MSD
Reste von unten: 10000101(2). — Probe: 128+4+1 = 133.
Aufgabe: 740(10) ins Oktalsystem.
740:8=92 R4,
92:8=11 R4,
11:8=1 R3,
1:8=0 R1 → 1344(8).
Probe: 1·512+3·64+4·8+4 = 740.
Aufgabe: 1417(10) ins Hexadezimalsystem.
1417:16=88 R9,
88:16=5 R8,
5:16=0 R5 → 589(16).
Probe: 5·256+8·16+9 = 1417.
Verfahren: Schnelle Umwandlung zwischen Dual und Hexadezimal?
Da 16 = 2^4: Dualzahl von rechts in Vierergruppen zerlegen und jede Tetrade durch eine Hexziffer ersetzen (und umgekehrt).
Knackpunkt: IMMER von rechts gruppieren; vorne ggf. mit Nullen auffüllen.
Verfahren: Schnelle Umwandlung zwischen Dual und Oktal?
Da 8 = 2^3: Dualzahl von rechts in Dreiergruppen zerlegen, jede Gruppe = eine Oktalziffer (0–7).
Aufgabe: 1110101111011110011(2) in eine Hexadezimalzahl (schnell).
Von rechts in 4er-Gruppen:
0111 0101 1110 1111 0011 = 7 5 E F 3 → 75EF3(16).
Knackpunkt: führende Nullen ergänzen (hier vorne 0 zu 0111).
Aufgabe: 110011011110111(2) in eine Oktalzahl (schnell).
Von rechts in 3er-Gruppen:
110 011 011 110 111 = 6 3 3 6 7 → 63367(8).
Aufgabe: 0x2BAE4 in eine Dualzahl.
Jede Hexziffer → Tetrade (4er Block):
2=0010, B=1011, A=1010, E=1110, 4=0100 → 0010 1011 1010 1110 0100(2).
Aufgabe: A1D5(16) in eine Oktalzahl.
Über Binär:
A1D5 = 1010 0001 1101 0101.
1 010 000 111 010 101 = 1 2 0 7 2 5 → 120725(8).
Knackpunkt: zuerst nach Binär, dann NEU in Dreiergruppen, nicht direkt Hex→Oktal.
Aufgabe: 3067(8) in eine Hexadezimalzahl.
3067(8) = 011 000 110 111
0110 0011 0111 → 6 3 7 → 637(16).
Aufgabe: Wie viele Stellen für 0…1489 im Dual-, Oktal-, Hexadezimalsystem?
Dual: 2^11=2048>1489 → 11 Bit.
Oktal: 8^4=4096>1489 (8^3=512<1489) → 4 Stellen.
Hex: 16^3=4096>1489 (16^2=256<1489) → 3 Stellen.
Probe: 1489 = 10111010001(2) = 2721(8) = 5D1(16).
Verfahren: Vorgänger/Nachfolger einer Dualzahl bestimmen?
Nachfolger = +1 addieren (binäre Addition),
Vorgänger = −1 (binäre Subtraktion).
Aufgabe: Vorgänger von 11010(2) (auch dezimal)?
11010(2)=26;
Vorgänger 25 = 11001(2)
Wie funktioniert die Addition im Dualsystem?
Stellenweise nach 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=0 mit Übertrag 1 in die nächste Stelle.
Die Summe OHNE Übertrag entspricht genau XOR; bei 1+1+1 (mit Übertrag) ergibt sich 1 Rest 1.
Aufgabe: Addiere 10111(2) + 11101(2).
10111 (=23) + 11101 (=29) = 1 10100 (=52).
Probe über Dezimal: 23+29 = 52 = 110100(2).
Aufgabe: Addiere im Hexadezimalsystem 7A3(16) + 2D9(16).
3+9=C;
A+D=23 → 7 + Übertrag 1;
7+2+1=A → A7C(16).
Probe: 1955+729 = 2684 = A7C(16).
Knackpunkt: Übertrag entsteht ab Summe ≥ 16; 10–15 als A–F schreiben.
Wie kann man eine Subtraktion a − b grundsätzlich als Addition ausführen?
a − b = a + (−b): man addiert die negative Zahl.
Im Rechner werden negative Zahlen als Einer- oder Zweier-Komplement dargestellt, damit Subtraktion = Addition wird.
Wie stellt man ganze Zahlen mit Vorzeichen und Betrag dar – und was sind die Nachteile?
MSB = Vorzeichen (0 positiv, 1 negativ), restliche M−1 Bits = Betrag.
Nachteile: doppelte Null (+0/−0), unsymmetrisch, normale Addition/Subtraktion funktioniert NICHT.
Wertebereich 4 Bit: −7…+7.
Verfahren: Einer-Komplement einer Dualzahl bilden?
Alle Bits invertieren (0↔1).
Knackpunkt: Stellenzahl M vorher festlegen, so dass positive Zahlen eine 0 im MSB haben; sonst stimmt das Vorzeichen nicht. Beispiel: +5 = 0101 → −5 = 1010.
Verfahren: Zweier-Komplement einer Dualzahl bilden?
Bits invertieren (Einer-Komplement) und 1 addieren.
Beispiel: +5 = 0101 → invertiert 1010 → +1 → 1011 = −5.
Knackpunkt: feste Stellenzahl M; positives MSB = 0.
Verfahren: Subtraktion im Einer-Komplement?
a − b = a + (Einer-Komplement von b), beide mit gleicher Stellenzahl.
Entsteht ein Überlauf (1 an Stelle M+1), muss diese 1 zum Ergebnis addiert werden (Einer-Rücklauf).
Verfahren: Subtraktion im Zweier-Komplement?
a − b = a + (Zweier-Komplement von b), gleiche Stellenzahl.
Ein Überlauf (1 an Stelle M+1) wird einfach IGNORIERT.
Aufgabe: 12 − 7 mit 5-stelligen Dualzahlen im Einer- und Zweier-Komplement.
12=01100, 7=00111,
Einer-K. von 7 = 11000;
01100+11000=100100 → Überlauf, Rücklauf +1 → 00101 = 5.
Zweier-K. von 7 = 11001;
01100+11001=100101 → Überlauf ignorieren → 00101 = 5.
Aufgabe: −6 − 5 mit 5-stelligen Dualzahlen im Zweier-Komplement.
−6 = 11010, −5 = 11011;
11010+11011 = (1)10101 → Überlauf ignorieren → 10101. MSB=1 → negativ;
zurück-komplementieren: invertieren 01010 +1 = 01011 = 11 → Ergebnis −11.
Welchen Wertebereich hat das Zweier-Komplement bei M Bit?
−2^(M-1) … +2^(M-1) − 1 (unsymmetrisch, nur EINE Null).
4 Bit: −8…+7; 8 Bit: −128…+127.
Vorteil: gleichwertige Stellen, einfache Addition/Subtraktion, stetig bei Null.
Aufgabe: 1A6B(16) in eine Oktalzahl umwandeln.
1A6B = 0001 1010 0110 1011.
Von rechts in 3er-Gruppen: 1 101 001 101 011 = 1 5 1 5 3 → 15153(8).
Aufgabe: 243(8) ins Dezimalsystem.
2·8^2 + 4·8 + 3 = 128 + 32 + 3 = 163.
Aufgabe: 14 − 27 mit 6-stelligen Dualzahlen im Zweier-Komplement.
14 = 001110, 27 = 011011.
Zweier-Komplement von 27 = 100101.
001110 + 100101 = 110011. MSB=1 → negativ;
zurück-komplementieren: invertieren 001100 +1 = 001101 = 13 → Ergebnis −13.
Probe: 14−27 = −13.
Was ist das Most/Least Significant Bit (MSB/LSB)?
MSB = höchstwertiges Bit (links, größter Stellenwert),
LSB = niederwertigstes Bit (rechts, Stellenwert 2^0).
Gerade/ungerade-Test über das LSB; Vorzeichen (im Komplement) über das MSB.
Woran erkennt man am Bitmuster, ob eine vorzeichenlose Dualzahl gerade ist?
Am LSB:
0 → gerade (ohne Rest durch 2 teilbar),
1 → ungerade.
Beispiel:
101(2)=5 endet auf 1 → ungerade;
1A(16)=11010 endet auf 0 → gerade.
Last changed9 days ago