Termin 1: Hypothesentesten

1. Theorie formuliert eine allgemeine Annahme.

2. Daraus wird eine inhaltliche Hypothese abgeleitet.

3. Die inhaltliche Hypothese wird als statistische Hypothese formuliert.

Beispiel:

• Theorie: Bei hochautomatisierten kognitiven Prozessen treten Verarbeitungskonflikte auf.

• Inhaltliche Hypothese: Deutsche Farbwörter in inkongruenten Farben verlängern die Verarbeitungszeit.

• Statistische Hypothese: Unterschiede der mittleren Bearbeitungszeiten werden über Populationsmittelwerte formuliert.

Damit anhand von Daten entschieden werden kann.

Dazu wird festgelegt:

• Welche Merkmale gemessen werden.

• Welche Populationsparameter die Hypothese repräsentieren.

• Welche Relation zwischen den Parametern geprüft werden soll.

Wichtig:

• Hypothesen beziehen sich immer auf die Population.

• Nicht auf die Stichprobe.

H_1:\mu_{deutschsprachig} > \mu_{nicht-deutschsprachig}

Bedeutung:

• Die mittlere Bearbeitungszeit in der deutschsprachigen Population ist höher als in der nicht-deutschsprachigen Population.

Gerichtete Hypothese

• Gibt die Richtung des Effekts an.

• Beispiel: \mu_A > \mu_B

Ungerichtete Hypothese

• Gibt nur an, dass ein Unterschied existiert.

• Beispiel: \mu_A (ungleich) \mu_B

Unspezifische Hypothese

• Macht keine Aussage über die Größe des Effekts.

Spezifische Hypothese

• Gibt die Größe des Effekts genau an.

Beispiel:

Die Alternativhypothese (H₁)

• unterstellt das Vorliegen von Zusammenhängen oder Unterschieden

• beschreibt normalerweise das, was man inhaltlich vermutet und nachweisen möchte

Die Nullhypothese (H₀)

• ist das Gegenteil der Alternativhypothese

• unterstellt:

  • keinen Zusammenhang

  • keinen Unterschied

  • oder einen Unterschied in die entgegengesetzte Richtung

Beide Hypothesen beziehen sich auf die Population.

Nicht auf:

• Stichprobenmittelwerte

• einzelne Stichproben

Ein statistischer Test ist eine Entscheidungsregel.

Er erlaubt:

• auf Basis eines Stichprobenergebnisses

• zwischen H₀ und H₁ zu entscheiden.

Weil die Entscheidung auf einer Stichprobe basiert.

Dadurch kann die Entscheidung:

• richtig sein

• oder falsch sein

Deshalb werden zwei Fehlertypen unterschieden.

Fehler 1. Art

• H₀ wird abgelehnt

• obwohl H₀ tatsächlich richtig ist

Kurz: ➡️ Falscher Alarm

Fehler 2. Art

• H₀ wird beibehalten

• obwohl H₀ falsch ist

Kurz: ➡️ Tatsächlichen Effekt übersehen

Kontrolliert wird der:

Fehler 1. Art (α-Fehler)

Nicht direkt kontrolliert wird:

• der Fehler 2. Art (β-Fehler)

Das Signifikanzniveau α ist die vorab festgelegte Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art.

Es beschreibt die:

• Irrtumswahrscheinlichkeit beim Ablehnen der Nullhypothese.

Konventionelle Werte:

• α = 0,05

• α = 0,01

Durch Versuchsplanung (Poweranalyse).

Dadurch kann:

• der β-Fehler kontrolliert bzw. fixiert werden

• die Teststärke erhöht werden

Eine Prüfgröße

• wird aus den Stichprobendaten berechnet

• dient als Grundlage für die Testentscheidung

Die Verteilung der Prüfgröße unter Gültigkeit von H₀ muss bekannt sein.

Beispiel:

• z-Test → Standardnormalverteilung

Der Ablehnungsbereich

• enthält Prüfgrößenwerte,

• die zur Ablehnung von H₀ führen.

Er wird durch:

• das Signifikanzniveau α

• und kritische Werte

festgelegt.

Bei einer gerichteten Hypothese:

• ein Ablehnungsbereich

• begrenzt durch den kritischen Wert

z_{1-\alpha}

Liegt die Prüfgröße darüber: ➡️ H₀ ablehnen

Bei einer ungerichteten Hypothese besteht der Ablehnungsbereich aus zwei Bereichen:

-z_{1-\alpha/2}

und

z_{1-\alpha/2}

Außerhalb dieser Grenzen: ➡️ H₀ ablehnen

Wenn die Prüfgröße:

• größer als z_{1-\alpha/2}

oder

• kleiner als -z_{1-\alpha/2}

ist.

Es wird geprüft, ob eine neue Lehrmethode zu besseren Leistungen führt als die alte Lehrmethode.

Alternativhypothese (H₁): \mu > \mu_0

• Neue Lehrmethode ist besser.

Nullhypothese (H₀): \mu \leq \mu_0

• Kein Vorteil der neuen Lehrmethode oder alte Lehrmethode ist besser.

μ₀

• Mittlere Testleistung unter der alten Lehrmethode.

μ

• Mittlere Testleistung unter der neuen Lehrmethode.

Zusätzlich:

• Signifikanzniveau: \alpha = 0,05

Die Leistungen sind normalverteilt:

Bekannt sind:

• μ₀ = 40

• σ = 4

Gezogen wird eine Zufallsstichprobe mit:

• n = 12

Ergebnis:

• Stichprobenmittelwert \bar{x}=42

Die Frage:

• Reicht dieses Ergebnis aus, um H₀ abzulehnen?

Die Stichprobenmittelwerte sind normalverteilt:

Die Prüfgröße ist der z-Wert des Stichprobenmittelwerts:

1. Prüfgröße berechnen.

2. Mit dem kritischen z-Wert vergleichen.

Liegt die Prüfgröße im Ablehnungsbereich:

➡️ H₀ ablehnen

Liegt sie außerhalb:

➡️ H₀ beibehalten

Einsetzen der Werte:

1. Verteilungstabelle verwenden

2. R-Funktion qnorm() verwenden

Sie liefern den kritischen z-Wert.

Dieser trennt:

• Annahmebereich

• Ablehnungsbereich

voneinander.

Es gibt zwei ergebnisäquivalente Vorgehensweisen:

1. Vergleich von:

   • empirischem z-Wert

   • kritischem z-Wert

2. Vergleich von:

   • p-Wert

   • Signifikanzniveau α

Für:

\alpha=0,05

und einen einseitigen Test gilt:

z_{95\%}=1,65

Empirischer z-Wert:

z=1,73

Kritischer z-Wert:

z_{95\%}=1,65

Da gilt:

1,73 > 1,65

liegt die Prüfgröße im Ablehnungsbereich.

➡️ H₀ wird abgelehnt.

Wenn lediglich ein Unterschied vermutet wird, aber keine Richtung vorhergesagt wird.

Dann wird eine ungerichtete Hypothese geprüft.

Das Signifikanzniveau wird auf beide Seiten verteilt:

Bei

\alpha=0,05

entfallen:

• 0,025 links

• 0,025 rechts

Kritische Grenzen:

-1,96

und

+1,96

Außerhalb dieser Werte liegt der Ablehnungsbereich.

Empirischer z-Wert:

z=1,73

Kritischer Wert:

1,96

Da

1,73 < 1,96

gilt:

➡️ H₀ wird nicht abgelehnt.

Beim zweiseitigen Test wird α auf beide Seiten verteilt.

Dadurch steigt der kritische Wert:

• Einseitig: 1,65

• Zweiseitig: 1,96

Der Ablehnungsbereich wird kleiner.

Die Alternativhypothese muss:

• vor der Untersuchung

• und damit vor der Datenerhebung

festgelegt werden.

Wichtig:

• Sie darf nach Sichtung der Daten nicht verändert werden.

Für gerichtete Hypothesen wird ein

➡️ einseitiger Test

verwendet.

Für ungerichtete Hypothesen wird ein

➡️ zweiseitiger Test

verwendet.

Der Ablehnungsbereich umfasst:

z > 1,65

Alle größeren Prüfgrößen führen zur Ablehnung von H₀.

Die Ablehnungsbereiche liegen bei:

z < -1,96

oder

z > 1,96

In beiden Randbereichen wird H₀ abgelehnt.

Einseitiger Test

• gesamtes α liegt auf einer Seite

\alpha = 0,05

Zweiseitiger Test

• α wird auf beide Seiten verteilt

\alpha/2 = 0,025

links und rechts.

Der p-Wert gibt an:

• wie wahrscheinlich das beobachtete Ergebnis

• oder ein noch extremeres Ergebnis

unter Gültigkeit von H₀ wäre.

Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit,

bei gültiger H₀,

einen mindestens so extremen Prüfgrößenwert zu erhalten wie den beobachteten.

Wenn gilt:

p < \alpha

dann:

➡️ H₀ ablehnen

Wenn gilt:

p \geq \alpha

dann:

➡️ H₀ nicht ablehnen

Es gilt:

p=0,042

und

\alpha=0,05

Da:

0,042 < 0,05

wird H₀ abgelehnt.

Weil beide Verteilungsenden berücksichtigt werden.

Der durch die Prüfgröße abgeschnittene Flächenanteil wird:

• rechts berücksichtigt

• und spiegelbildlich links ergänzt

p=0,084

und

\alpha=0,05

Da:

0,084>0,05

wird H₀ nicht abgelehnt.

Ja.

Beide Verfahren sind:

• ergebnisäquivalent

Sie liefern dieselbe Entscheidung über H₀.

1. Vergleich des p-Werts mit α

oder

1. Vergleich der Prüfgröße mit dem kritischen Wert

Beide führen zum gleichen Testergebnis.

Der p-Wert ist nicht

die Wahrscheinlichkeit,

dass H₀ wahr ist.

Ein signifikantes Ergebnis sagt nichts über:

• die Größe des Unterschieds

• die Größe des Effekts

aus.

Wichtig:

Statistische Signifikanz ≠ praktische Signifikanz

Ein nicht-signifikantes Ergebnis ist

kein Beleg dafür, dass H₀ richtig ist.

Cohens d liefert einen Eindruck von der

➡️ Größe des Mittelwertsunterschieds

also der Effektstärke.

Der Effekt wird unabhängig von den ursprünglichen Messeinheiten beschrieben.

Als Einheit dient:

➡️ die Standardabweichung

Dadurch werden Effekte zwischen Studien vergleichbarer.

d<0,2

➡️ Sehr geringer Effekt

0,2<d<0,5

➡️ Geringer Effekt

0,5<d<0,8

➡️ Mittlerer Effekt

d>0,8

➡️ Großer Effekt

Es wird eine Stichprobe aus einer Population gezogen,

deren Merkmal:

• normalverteilt ist

• und deren Varianz σ² bekannt ist

Bei

\alpha=0,05

z_{0,95}=1,65

Bei

\alpha=0,01

z_{0,99}=2,33

z_{0,025}=-1,96

und

z_{0,975}=1,96

z_{0,005}=-2,58

und

z_{0,995}=2,58