Q: (Folie 3) Welche Annahme macht der z-Test bezüglich der Standardabweichung?
Der z-Test setzt voraus, dass die Standardabweichung der Population (σ) bekannt ist.
Die Prüfgröße folgt dann einer Standardnormalverteilung (z-Verteilung).
Die Nullhypothese lautet:
H₀: μ = μ₀
Q: (Folie 3) Warum reicht ein z-Test häufig nicht aus?
In der Praxis ist die Populationsstandardabweichung σ häufig unbekannt.
Stattdessen wird σ durch die Stichprobenstandardabweichung sₓ geschätzt.
Dadurch folgt die Prüfgröße nicht mehr der Standardnormalverteilung.
Q: (Folie 4) Wann verwendet man einen t-Wert statt eines z-Werts?
Ein t-Wert wird verwendet, wenn:
die Populationsstandardabweichung unbekannt ist,
und durch die Stichprobenstandardabweichung sₓ geschätzt werden muss.
Zusätzlich wird angenommen:
Die Rohwerte sind in der Population normalverteilt.
Q: (Folie 4) Wie viele Freiheitsgrade besitzt die t-Verteilung?
Die t-Verteilung besitzt:
df = n − 1 Freiheitsgrade
Dabei gilt:
n = Stichprobenumfang
Q: (Folie 5) Warum verliert man beim t-Test einen Freiheitsgrad?
Weil die Standardabweichung aus der Stichprobe geschätzt werden muss.
Dadurch:
geht ein Freiheitsgrad verloren,
und die Prüfgröße folgt einer t-Verteilung statt einer z-Verteilung.
Q: (Folie 5) Welche Eigenschaften hat die t-Verteilung?
Die t-Verteilung ist:
unimodal
symmetrisch
Im Vergleich zur z-Verteilung:
besitzt sie eine größere Streuung
hat sie breitere Ränder (schwerere Tails)
Q: (Folie 5–6) Wie verändert sich die t-Verteilung bei wachsendem Stichprobenumfang?
Mit zunehmendem n:
nähert sich die t-Verteilung der z-Verteilung an
werden die Unterschiede immer kleiner
Die Folie betont:
Ab etwa n ≈ 30 können die Perzentile der t-Verteilung durch die der Standardnormalverteilung ersetzt werden.
Q: (Folie 6) Wie unterscheiden sich kritische t- und z-Werte bei kleinen Stichproben?
Bei kleinen Freiheitsgraden sind die kritischen t-Werte größer als die entsprechenden z-Werte.
Q: (Folie 6) Was passiert mit den kritischen Werten bei unendlich vielen Freiheitsgraden?
df → ∞
gilt:
t-Werte = z-Werte
Q: (Folie 7) Wie sieht die Ablehnungsregion eines zweiseitigen t-Tests aus?
Bei einem zweiseitigen Test:
wird α auf beide Verteilungsenden verteilt
links: α/2
rechts: α/2
Beispiel der Folie:
df = 10
α = 0.05
Kritische Werte:
tkrit = −2.228
tkrit = +2.228
Q: (Folie 7) Wozu benötigt man eine t-Verteilungstabelle oder die R-Funktion qt()?
Damit werden die kritischen t-Werte bestimmt.
Die Folie zeigt zwei Möglichkeiten:
Nachschlagen in einer Verteilungstabelle
Verwendung der R-Funktion qt()
Q: (Folie 8) Gegen welche Nullhypothese prüfen z-Test und Ein-Stichproben t-Test?
Beide Verfahren prüfen dieselbe Nullhypothese:
Dabei wird untersucht, ob der Populationsmittelwert einem vorgegebenen Wert entspricht.
Q: (Folie 8) Worin unterscheiden sich z-Test und Ein-Stichproben t-Test?
Der Unterschied betrifft die Behandlung der Standardabweichung:
z-Test
Populationsstandardabweichung bekannt
oder große Stichprobe
Ein-Stichproben t-Test
Populationsstandardabweichung unbekannt
auch bei kleinen Stichproben anwendbar
Q: (Folie 8) Unter welcher zusätzlichen Voraussetzung kann der Ein-Stichproben t-Test verwendet werden?
Es wird angenommen, dass:
die Messwerte in der Population normalverteilt sind.
Dann kann der Test auch bei kleinen Stichproben verwendet werden.
Q: (Folie 9) Welches Forschungsproblem wird im Beispiel zum Ein-Stichproben t-Test untersucht?
Es wird geprüft, ob der 24-stündige Tagesrhythmus (zirkadianer Rhythmus) auch ohne Tageslicht erhalten bleibt.
Abhängige Variable:
Zeit zwischen Zu-Bett-Gehen am 3. und 4. Tag
gemessen in Minuten
Q: (Folie 9) Welche Hypothesen werden im Beispiel zum zirkadianen Rhythmus getestet?
Nullhypothese:
H₀: μ = 1440 Minuten
Alternativhypothese:
H₁: μ ≠ 1440 Minuten
1440 Minuten entsprechen:
24 Stunden
Q: (Folie 9) Welche Stichprobe wurde im Beispiel untersucht?
Es wurden:
n = 7 Freiwillige
untersucht.
Erhobene Werte:
1452, 1438, 1487, 1439, 1454, 1461, 1476
Q: (Folie 9) Welche Stichprobenkennwerte ergeben sich im Beispiel?
Berechnet wurden:
Mittelwert = 1458.14
Standardabweichung = 18.20
Q: (Folie 10) Wie groß ist der empirische t-Wert im Beispiel?
Der berechnete Wert lautet:
t = 2.64
Dieser Wert wird anschließend mit dem kritischen t-Wert verglichen.
Q: (Folie 10) Welcher kritische t-Wert wird im Beispiel verwendet?
Bei:
df = 6
α = .05
zweiseitigem Test
ergibt sich:
tkrit = 2.447
Q: (Folie 10) Wie lautet die Testentscheidung im Beispiel?
Da:
2.64 > 2.447
Die Nullhypothese wird verworfen.
Der beobachtete Mittelwert unterscheidet sich signifikant von 1440 Minuten.
Q: (Folie 11) Welche zwei Änderungen ergeben sich bei der Berechnung eines Konfidenzintervalls, wenn die Populationsvarianz unbekannt ist?
Es gibt zwei Unterschiede:
Die Populationsvarianz wird durch die Stichprobenvarianz geschätzt.
Das Perzentil der z-Verteilung wird durch das entsprechende Perzentil der t-Verteilung ersetzt.
Q: (Folie 11) Was passiert beim Standardfehler des Mittelwerts, wenn die Populationsvarianz unbekannt ist?
Der Standardfehler wird nicht mehr mit der Populationsstandardabweichung berechnet.
Stattdessen wird:
die Stichprobenstandardabweichung s verwendet.
Q: (Folie 11) Welches Perzentil wird beim t-basierten Konfidenzintervall verwendet?
Verwendet wird:
das entsprechende Perzentil der t-Verteilung
mit:
df = n − 1
anstelle des Perzentils der Standardnormalverteilung.
Q: (Folie 12) Wie lautet das 95%-Konfidenzintervall im Beispiel des zirkadianen Rhythmus?
Das berechnete Intervall lautet:
untere Grenze = 1441
obere Grenze = 1475
Q: (Folie 12) Welche Kennwerte werden zur Berechnung dieses Konfidenzintervalls verwendet?
Verwendet wurden:
s = 18.20
n = 7
t(6;97.5%) = 2.447
Q: (Folie 13) Welche Voraussetzungen müssen für den Ein-Stichproben t-Test erfüllt sein?
Zwei Annahmen:
Die Daten stammen aus einer einfachen Zufallsstichprobe.
Das Merkmal ist in der Population normalverteilt.
Q: (Folie 13) Kann der Ein-Stichproben t-Test auch bei kleinen Stichproben eingesetzt werden?
Ja.
Wenn die Annahmen erfüllt sind:
kann der Test bei jeder Stichprobengröße n verwendet werden.
Q: (Folie 13) Warum ist ein großes n trotzdem wünschenswert?
Die Folie nennt:
Mit kleinem n ist die Teststärke geringer.
Ein großes n ist daher grundsätzlich wünschenswert.
Q: (Folie 13) Wie verhält sich der t-Test bei großem Stichprobenumfang?
Mit wachsendem n:
nähert sich der t-Test dem z-Test an.
Q: (Folie 14) Welche Fragestellung untersucht der t-Test für unabhängige Stichproben?
Es wird untersucht, ob zwei unabhängige Stichproben aus:
derselben Population oder
unterschiedlichen Populationen
stammen.
Dabei werden die Mittelwerte der beiden Populationen verglichen.
Q: (Folie 14) Wie lautet die Nullhypothese beim t-Test für unabhängige Stichproben?
H₀: μ₁ = μ₂
Bedeutung:
Die beiden Populationsmittelwerte unterscheiden sich nicht.
Q: (Folie 14) Wie lautet die ungerichtete Alternativhypothese?
Die ungerichtete Alternativhypothese lautet:
H₁: μ₁ ≠ μ₂
bzw.
μ₁ − μ₂ ≠ 0
Q: (Folie 14) Welche gerichteten Alternativhypothesen sind möglich?
Möglich sind:
H₁: μ₁ > μ₂
H₁: μ₁ < μ₂
Die Richtung des Unterschieds ist dabei bereits festgelegt.
Q: (Folie 14) Welche Symbole werden für die unbekannten Populationsparameter verwendet?
Für die Populationen werden verwendet:
μ₁, μ₂ → Populationsmittelwerte
σ₁, σ₂ → Populationsstandardabweichungen
Q: (Folie 15) Was misst die Prüfgröße des t-Tests für unabhängige Stichproben?
Die Prüfgröße setzt:
die beobachtete Mittelwertdifferenz
ins Verhältnis zur
Streuung der Mittelwertdifferenz.
Dadurch wird beurteilt, ob die beobachtete Differenz ungewöhnlich groß ist.
Q: (Folie 15) Was bedeutet der Standardfehler der Mittelwertdifferenz?
Der Standardfehler der Mittelwertdifferenz beschreibt:
die geschätzte Streuung der Stichprobenkennwerteverteilung der Mittelwertdifferenz.
Er wird zur Berechnung der Prüfgröße benötigt.
Q: (Folie 15) Wie berechnen sich die Freiheitsgrade beim t-Test für unabhängige Stichproben?
Die Freiheitsgrade lauten:
df = n₁ + n₂ − 2
n₁ = Stichprobengröße Gruppe 1
n₂ = Stichprobengröße Gruppe 2
Q: (Folie 16) Welche Forschungsfrage wird im Beispiel untersucht?
Es wird untersucht:
ob Männer oder Frauen im Durchschnitt belastbarer sind.
Verwendet werden:
zwei unabhängige Gruppen
mit jeweils:
n₁ = 9
n₂ = 9
Q: (Folie 16) Welche Hypothesen werden im Belastbarkeitsbeispiel getestet?
Q: (Folie 17) Welche Mittelwerte wurden für Männer und Frauen beobachtet?
Männer:
x̄₁ = 102.333
Frauen:
x̄₂ = 105.556
Q: (Folie 17) Wie groß ist der beobachtete Mittelwertunterschied?
Berechnung:
102.333 − 105.556
Ergebnis:
−3.223
Die Frauen weisen im Datensatz den höheren Mittelwert auf.
Q: (Folie 18) Welche Freiheitsgrade ergeben sich im Beispiel?
df = 9 + 9 − 2
df = 16
Q: (Folie 18) Wie groß ist der Standardfehler der Mittelwertdifferenz im Beispiel?
Der berechnete Standardfehler beträgt:
6.408
Q: (Folie 18) Wie groß ist die Prüfgröße im Beispiel?
Die berechnete Prüfgröße lautet:
t = −0.503
Q: (Folie 18) Wie groß ist die gepoolte Varianz im Beispiel?
Die gepoolte Varianz beträgt:
s²p = 184.764
Q: (Folie 19) Welcher kritische t-Wert wird im Beispiel verwendet?
tkrit = 2.120
Q: (Folie 19) Wie lautet die Testentscheidung im Beispiel?
|−0.503| = 0.503
0.503 < 2.120
ist der Test nicht signifikant.
Die Nullhypothese wird beibehalten.
Q: (Folie 19) Welche Schlussfolgerung ergibt sich aus dem Beispiel?
Die Folie folgert:
Männer und Frauen unterscheiden sich nicht statistisch signifikant in ihrer durchschnittlichen Belastbarkeit.
Q: (Folie 20) Welche Annahmen gelten für die Stichproben beim t-Test für unabhängige Stichproben?
Die Stichproben müssen:
einfache Zufallsstichproben sein
voneinander unabhängig sein
Q: (Folie 20) Welche Annahme gilt für die Varianzen der Populationen?
Es wird angenommen:
σ²₁ = σ²₂
Die Populationsvarianzen sollen also gleich sein.
Q: (Folie 20) Woran erkennt man gleiche Populationsvarianzen in den Stichproben?
Wenn die Populationsvarianzen gleich sind, sollten auch die Stichprobenvarianzen ähnlich sein:
s²₁ ≈ s²₂
Q: (Folie 20) Welche Verteilungsannahme wird getroffen?
Das untersuchte Merkmal soll:
in beiden Populationen normalverteilt sein.
Q: (Folie 20) Wie robust ist der t-Test gegenüber leichten Annahmeverletzungen?
Die Folie weist darauf hin:
Der t-Test ist einigermaßen robust gegenüber leichten Verletzungen der Annahmen.
Q: (Folie 21) Warum können heterogene Varianzen problematisch sein?
Sind die Varianzen deutlich unterschiedlich:
kann der gewöhnliche t-Test zu Fehlentscheidungen führen.
Q: (Folie 21) Wann besteht besonders die Gefahr einer Fehlentscheidung?
Besonders problematisch ist der Fall:
große Varianz in der kleineren Stichprobe.
Dann kann:
H₀ zu schnell verworfen werden.
Q: (Folie 21) Welche Lösung wird für ungleiche Varianzen vorgestellt?
Welch’s t-Test
(„unequal variance t-test“)
Q: (Folie 21) In welchen zwei Punkten unterscheidet sich der Welch-Test vom gewöhnlichen t-Test?
Unterschiede bestehen bei:
der Berechnung des Standardfehlers
der Berechnung der Freiheitsgrade
Q: (Folie 22) Wie wird beim Welch-Test der Standardfehler berechnet?
Beim Welch-Test werden:
die Einzelvarianzen beider Gruppen
verwendet.
Es wird also nicht mit der gepoolten Varianz gerechnet.
Q: (Folie 22) Warum ist eine zusätzliche Freiheitsgradkorrektur notwendig?
Durch die neue Berechnung des Standardfehlers:
ist die Prüfstatistik nicht mehr exakt t-verteilt.
Daher wird eine Korrektur der Freiheitsgrade benötigt.
Q: (Folie 23) Welche Besonderheit besitzen die korrigierten Freiheitsgrade beim Welch-Test?
Die korrigierten Freiheitsgrade:
sind meist keine natürlichen Zahlen.
Q: (Folie 23) Warum werden beim Welch-Test häufig Statistikprogramme verwendet?
Da die korrigierten Freiheitsgrade häufig keine ganzen Zahlen sind:
ist das Nachschlagen in Tabellen nur näherungsweise möglich.
Deshalb werden meist Programme wie R verwendet.
Q: (Folie 23) Welche Empfehlung wird auf der Folie bezüglich des Welch-Tests erwähnt?
Die Folie erwähnt:
Einige Autoren empfehlen, im Zweifelsfall immer den Welch-Test zu verwenden.
Q: (Folie 24) Welche Voraussetzung hatten die bisher behandelten t-Tests gemeinsam?
Bisher wurde angenommen, dass:
die statistischen Einheiten unabhängig voneinander gezogen wurden
echte Zufallsstichproben vorliegen
Dies galt für:
t-Test für unabhängige Stichproben
Q: (Folie 24) Wann liegen abhängige Stichproben vor?
Abhängige Stichproben liegen vor, wenn:
dieselben Personen mehrfach gemessen werden
oder Beobachtungen paarweise zusammengehören
Q: (Folie 24) Welche Beispiele für abhängige Stichproben nennt die Folie?
Beispiele:
Stimmung von Studierenden vor vs. nach einer Statistikklausur
Vergleich von Männern und Frauen innerhalb von Paaren
Q: (Folie 25) Welche Bezeichnungen werden synonym für abhängige Stichproben verwendet?
Synonyme sind:
verbundene Stichproben
matched samples
paired samples
Q: (Folie 25) Wie werden abhängige Stichproben definiert?
statistische Einheiten paarweise zugeordnet sind
oder
jede Einheit wiederholt beobachtet wird
Q: (Folie 25) Wie lautet die Nullhypothese beim t-Test für abhängige Stichproben?
μ₁ − μ₂ = 0
Q: (Folie 25) Wie lautet die ungerichtete Alternativhypothese?
Q: (Folie 25) Welche gerichteten Alternativhypothesen sind möglich?
Q: (Folie 26) Was ist der entscheidende Unterschied zum t-Test für unabhängige Stichproben?
Es wird nicht direkt mit den Rohdaten gerechnet.
Stattdessen werden:
Differenzwerte dᵢ
gebildet.
Q: (Folie 26) Wie wird ein Differenzwert dᵢ berechnet?
Für jedes Beobachtungspaar gilt:
dᵢ = xᵢ₁ − xᵢ₂
Der Differenzwert beschreibt den Unterschied innerhalb eines Paares.
Q: (Folie 26) Welche Größe steht im Mittelpunkt des Tests?
Zentral ist:
der Mittelwert der Differenzwerte (d̄)
Nicht die ursprünglichen Messwerte werden verglichen, sondern deren Differenzen.
Q: (Folie 26) Welcher Wert wird unter der Nullhypothese für die mittlere Differenz angenommen?
Unter H₀ gilt:
μd = 0
Es wird also angenommen, dass durchschnittlich kein Unterschied besteht.
Q: (Folie 26) Woraus besteht die Prüfgröße des t-Tests für abhängige Stichproben?
den Mittelwert der Differenzen (d̄)
ins Verhältnis zum
Standardfehler der Differenzwerte.
Q: (Folie 26) Wovon hängt die Standardabweichung der Differenzwerte ab?
Sie wird aus:
den einzelnen Differenzwerten dᵢ
und deren Mittelwert d̄
berechnet.
Q: (Folie 27) Welche Fragestellung wird im Beispiel untersucht?
Es wird geprüft, ob sich Studierende:
in ihrer Selbsteinschätzung vor der Klausur
von
ihren tatsächlichen Klausurergebnissen
signifikant unterscheiden.
Q: (Folie 27) Wie groß ist die Stichprobe im Beispiel?
Untersucht werden:
n = 15 Personen
Q: (Folie 27) Welche beiden Messungen werden erhoben?
Für jede Person werden erhoben:
erwartete Anzahl richtig gelöster Aufgaben
tatsächlich richtig gelöste Aufgaben
Q: (Folie 28) Wie groß ist die mittlere Differenz im Beispiel?
Die berechnete mittlere Differenz beträgt:
d̄ = −6.4
Q: (Folie 28) Wie groß ist die Standardabweichung der Differenzwerte?
Die Standardabweichung der Differenzen beträgt:
sd = 7.9
Q: (Folie 28) Wie groß ist die Prüfgröße im Beispiel?
t = −3.14
Q: (Folie 28) Wie viele Freiheitsgrade besitzt der Test?
Im Beispiel:
df = 14
Q: (Folie 29) Welcher kritische t-Wert wird verwendet?
Für:
zweiseitigen Test
tkrit = 2.145
Q: (Folie 29) Wie lautet die Testentscheidung?
|−3.14| = 3.14
3.14 > 2.145
ist der Test:
signifikant
Q: (Folie 29) Welche Schlussfolgerung wird im Beispiel gezogen?
Studierende unterschätzen ihre tatsächliche Leistung im Durchschnitt signifikant.
Q: (Folie 30) Welche Annahme wird bezüglich der Stichprobe getroffen?
eine einfache Zufallsstichprobe von Beobachtungspaaren
liegt vor.
Q: (Folie 30) Welche Verteilungsannahme gilt beim t-Test für abhängige Stichproben?
Die:
sollen in der Population:
normalverteilt sein.
Q: (Folie 30) Welche Annahme gilt bezüglich der beiden Messwertreihen?
Die Messwertreihen sollen:
moderat positiv miteinander kovariieren
Q: (Folie 30) Wie robust ist der Test gegenüber leichten Verletzungen der Annahmen?
Der t-Test für abhängige Stichproben ist einigermaßen robust gegenüber leichten Annahmeverletzungen.
Q: (Folie 31) Können die besprochenen t-Tests auch bei kleinen Stichproben verwendet werden?
können die t-Tests unabhängig vom Stichprobenumfang eingesetzt werden.
Q: (Folie 31) Welche Eigenschaft besitzen die Tests bei erfüllten Annahmen?
Die Tests:
halten das festgelegte Signifikanzniveau α ein.
Q: (Folie 31) Warum wird die Normalverteilungsannahme bei großen Stichproben weniger kritisch?
Die Folie nennt als Grund:
den zentralen Grenzwertsatz
Q: (Folie 31) Welche groben Orientierungswerte für große Stichproben werden genannt?
Bei folgenden Größen ist die Normalverteilungsannahme weniger kritisch:
Ein-Stichproben t-Test: n > 30
t-Test für unabhängige Stichproben: n₁ > 30 und n₂ > 30
t-Test für Beobachtungspaare: mehr als 30 Beobachtungspaare
Q: (Folie 31) Warum ist eine große Stichprobe grundsätzlich wünschenswert?
Maximierung der Teststärke.
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