Mathe Basics

1,2,3

Ergebnis bei + und x ist wieder eine natürliche Zahl

Ergebnis bei - ist nicht immer eine natürliche Zahl

1. rster Schritt: Schreiben Sie das bekannte Verhältnis auf. Beispiel: 7 Bücher kosten 84 Euro.

2. Zweiter Schritt: Rechnen Sie den Wert für eine Einheit aus (durch die Anzahl teilen). Beispiel: 1 Buch kostet 12 Euro (84 geteilt durch 7).

3. Dritter Schritt: Multiplizieren Sie den Einzelwert mit der gesuchten Menge. Beispiel: 4 Bücher kosten 48 Euro (12 mal 4)

Die Quersumme einer Zahl ist die Summe all ihrer einzelnen Ziffern. Man teilt die Zahl in ihre Ziffern auf und rechnet diese plus (zum Beispiel ist die Quersumme von 123 gleich 1 + 2 + 3 = 6)

Wofür man die Quersumme braucht

• Teilbarkeit durch 3: Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.

• Teilbarkeit durch 9: Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist

Einen Winkel berechnet man je nach Ausgangslage über die Winkelsumme in Figuren (z. B. 180° im Dreieck) oder im rechtwinkligen Dreieck über trigonometrische Funktionen wie Sinus, Kosinus und Tangens. Dafür nutzt man die Umkehrfunktionen (\(\sin ^{-1}\), \(\cos ^{-1}\), \(\tan ^{-1}\)) auf dem Taschenrechner.

Winkel im Dreieck berechnen

• Innenwinkelsumme: Alle drei Winkel (α + β + γ) zusammen ergeben immer genau 180°.

• Fehlenden Winkel finden: Sind zwei Winkel bekannt, ziehst du beide von 180° ab: α = 180° - β - γ

Winkel mit Sinus, Kosinus und Tangens (Rechtwinkliges Dreieck)

• Sinus (\(\sin \)): \(\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\)

• Kosinus (\(\cos \)): \(\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\)

• Tangens (\(\tan \)): \(\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\)

• Winkel ausrechnen: Du teilst die Längen der Seiten durcheinander und wendest die Umkehrfunktion (z. B. \(\sin ^{-1}\)) auf das Ergebnis an

Der größte gemeinsame Teiler, in der Mathematik auch ggT genannt, ist der Teiler einer Zahl, durch die wir zwei Zahlen dividieren, ohne dass wir danach noch einmal dividieren können. Wenn wir also zwei Zahlen haben, nehmen wir die 16 und die 24, schauen wir uns alle Zahlen an, durch die wir diese Zahlen dividieren können.

Für die Zahl 16 wären das: 1, 2, 4, 8, 16. Durch diese Zahlen können wir die Zahl 16 teilen.

Für die Zahl 24 sind die Teiler: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Wir sehen bei beiden Zahlen viele gemeinsame Teiler, durch die beide Zahlen geteilt werden können, jedoch sind etwa die 3, die 12 oder die 16 Zahlen, durch die nur eine der beiden Zahlen geteilt werden kann. Der größte gemeinsame Teiler von beiden Zahlen beschreibt aber die Zahl, die am größten ist und durch die beide Zahlen geteilt werden können. In diesem Fall wäre der ggT, der größte gemeinsame Teiler von 16 und 24, also die Zahl 8.

Für ein weiteres Beispiel nehmen wir die Zahlen 62 und 26. Die Teiler von beiden Zahlen sind:

Für 62: 1, 2, 31, 62.

Für 26: 1, 2, 13, 26.

Wir sehen, dass der größte gemeinsame Teiler von 62 und 26 die Zahl 2 ist.

Merke

Der größte gemeinsame Teiler in der Mathematik ist die größte Zahl, durch die beide Ausgangszahlen dividiert werden können.

Eine weitere wichtige Zahl ist das kleinste gemeinsame Vielfache, auch kgV. Hierbei wird nicht nach den Teilern geschaut, sondern nach der Zahl, die beide Zahlen gleich haben, wenn man multipliziert. Schauen wir uns das an zwei Zahlen an:

Beispiel

Gesucht ist das kgV der Zahlen 12 und 14. Wir wollen also sehen, welche die erste Zahl ist, bei der sich die 12er-Reihe und die 14er-Reihe kreuzen. Gehen wir dazu die Reihen einmal durch:

12er-Reihe: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, 168...

14er-Reihe: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140, 154, 168...

Wir erkennen, dass die Zahl 168 ein Vielfaches der beiden Reihen ist, denn die Zahl ist die Multiplikation der beiden Zahlen 12 und 14. Doch ist es auch das kleinste gemeinsame Vielfache? Nein, denn die Zahl 84 kommt auch in beiden Reihen vor, somit ist diese Zahl das kleinste gemeinsame Vielfache.

In manchen Fällen ist es jedoch so, dass es kein kleinstes gemeinsames Vielfaches gibt, was kleiner als die Multiplikation der beiden Zahlen ist, etwa bei den Zahlen 3 und 5. Hier ist das kgV 15, also die Multiplikation von 3 und 5.

Eine Primzahl ist eine ganze Zahl größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar ist, wie zum Beispiel die Zahlen 2, 3 und 5

Eigenschaften von Primzahlen

• Teilbarkeit: Sie haben genau zwei verschiedene Teiler (die 1 und die Zahl selbst).

• Die Zahl 1: Ist keine Primzahl, da sie nur einen einzigen Teiler hat.

• Die Zahl 2: Ist die einzige gerade Primzahl. Alle anderen geraden Zahlen kann man durch 2 teilen.

• Anzahl: Es gibt unendlich viele Primzahlen. [1, 2, 3, 4, 5]

Die ersten Primzahlen

• Bis 10: 2, 3, 5, 7

• Bis 20: 11, 13, 17, 19

• Bis 30: 23, 29

Klammern sind Zeichen, die festlegen, in welcher Reihenfolge Terme ausgewertet werden. Es gibt mehrere Klammerstile, damit man diese optisch gut unterscheiden kann.

• Runde Klammer:

• Eckige Klammer:

• Geschwungene Klammer:

• Verschachtelte Klammern: Verschachtelte Klammern werden von innen nach außen aufgelöst

Klammerregeln

• Plus vor der Klammer. Steht vor der Klammer ein Plus, so darf man die Klammer einfach weglassen  

• Minus vor der Klammer: Steht vor der Klammer ein Minus, so muss man beim Weglassen der Klammer alle Rechenzeichen die in der Klammer stehen umkehren  

• Ausmultiplizieren: Steht ein Faktor vor der Klammer, so multipliziert man diesen Faktor mit jedem Monom in der Klammer (Distributivgesetz)

• Herausheben: Kommt in mehreren Gliedern eines Polynoms der gleiche Faktor vor, so kann man diese Glieder in eine Klammer schreiben und den Faktor davor anschreiben.

• Einklammern: Darunter versteht man, wenn alle positiven und alle negativen Werte zu je einer Summe in einer Klammer zusammengefasst werden. Vor der Klammer mit der Summe der negativen Werte, kommt als Rechenzeichen ein Minus.

• Ausklammern: Unter ausklammern versteht man das Auflösen von Klammern.

Teilbarkeitsregeln helfen dir zu erkennen, ob eine Zahl ohne Rest durch eine andere teilbar ist. Die wichtigsten Regeln für die Zahlen von 2 bis 10 sind die letzte Ziffer, die Quersumme und die Endziffern

Regeln für die Zahlen 2, 3, 4 und 5

• Durch 2: Die letzte Ziffer ist gerade (0, 2, 4, 6 oder 8).

• Durch 3: Die Quersumme (Summe aller Ziffern) ist durch 3 teilbar.

• Durch 4: Die Zahl aus den letzten beiden Ziffern ist durch 4 teilbar.

• Durch 5: Die letzte Ziffer ist eine 0 oder eine 5.

  

  Grundschulkönig

Regeln für die Zahlen 6, 8, 9 und 10

• Durch 6:

  Die Zahl ist sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar.

• Durch 8: Die Zahl aus den letzten drei Ziffern ist durch 8 teilbar.

• Durch 9: Die Quersumme ist durch 9 teilbar.

• Durch 10: Die letzte Ziffer ist eine 0

Erste binomische Formel (Plus-Formel):

• (a + b)² = a² + 2ab + b²

Zweite binomische Formel (Minus-Formel):

• (a - b)² = a² - 2ab + b²

Dritte binomische Formel (Plus-Minus-Formel):

• (a + b) ⋅ (a - b) = a² - b²

Der Satz des Pythagoras ist eines der wichtigsten Gesetze der Geometrie und gilt ausschließlich in rechtwinkligen Dreiecken. Er besagt, dass die Summe der Quadrate über den beiden kürzeren Seiten (Katheten) genau so groß ist wie das Quadrat über der längsten Seite (Hypotenuse). [1, 2, 3]

Die mathematische Formel

Wenn der rechte Winkel (90°) der Seite c gegenüberliegt, lautet die Formel: [1, 2, 3]

\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)

Dabei gilt:

• a und b sind die Katheten (die Seiten, die den rechten Winkel einschließen).

• c ist die Hypotenuse (die längste Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt). [1, 2]

• Hypotenuse gesucht: \(c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)

• Kathete a gesucht: \(a=\sqrt{c^{2}-b^{2}}\)

• Kathete b gesucht: \(b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}\) [1, 2, 3]

Die Mitternachtsformel (auch abc-Formel) ist eine Rechenregel in der Mathematik, um quadratische Gleichungen in der allgemeinen Form ax² + bx + c = 0 zu lösen. Sie lautet: [1, 2]

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)

Anwendung und Schritte

• Gleichung ordnen: Bringen Sie alle Teile der Gleichung auf eine Seite, sodass dort 0 steht.

• Werte bestimmen: Lesen Sie die Zahlen für a (vor x²), b (vor x) und c (die Zahl allein) ab.

• Einsetzen: Setzen Sie diese Zahlen in die Formel ein und rechnen Sie das Ergebnis aus. Das ±-Zeichen bedeutet, dass Sie einmal mit Plus und einmal mit Minus rechnen, um x₁ und x₂ zu erhalten

1. 1. Strahlensatz: Vergleicht die Abschnitte auf den Strahlen miteinander.

2. 2. Strahlensatz: Vergleicht die Abschnitte auf den Parallelen mit den Abschnitten auf den Strahlen.

3. 3. Strahlensatz: Vergleicht die Abschnitte auf den Parallelen direkt miteinander, wenn es mehr als zwei Parallele gibt

   Der erste Strahlensatz

   • Vergleicht die Abschnitte auf den beiden Strahlen.

   • Die Abschnitte auf einem Strahl verhalten sich zueinander wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl.

   • Formel-Beispiel: \(\frac{\text{Abschnitt auf Strahl 1}}{\text{Langer Abschnitt auf Strahl 1}} = \frac{\text{Abschnitt auf Strahl 2}}{\text{Langer Abschnitt auf Strahl 2}}\) [1, 2, 3]

Der zweite Strahlensatz

• Setzt die Abschnitte auf den Parallelen ins Verhältnis zu den Abschnitten auf den Strahlen.

• Vergleicht die Längen der parallelen Linien mit den Abständen zum Startpunkt.

• Formel-Beispiel: \(\frac{\text{Parallele 1}}{\text{Parallele 2}} = \text{Verhältnis der Strahlenschnitte}\) [1, 2, 3, 4]

Der dritte Strahlensatz

• Vergleicht die Abschnitte auf den Parallelen miteinander.

• Die Abschnitte auf der einen Parallelen verhalten sich wie die entsprechenden Abschnitte auf der anderen Parallelen.

• Formel-Beispiel: \(\frac{\text{Teilstück 1 auf Parallele 1}}{\text{Teilstück 2 auf Parallele 1}} = \frac{\text{Teilstück 1 auf Parallele 2}}{\text{Teilstück 2 auf Parallele 2}}\) [1, 2]

Die Polynomdivision ist ein Rechenverfahren, um ein Polynom durch ein anderes zu teilen. Sie läuft in den Schritten Teilen, Multiplizieren und Subtrahieren ab, ähnlich wie die schriftliche Division von Zahlen. Man nutzt sie vor allem, um Nullstellen von ganzrationalen Funktionen zu bestimmen. [1, 2, 3]

Vorbereitung

• Sortieren: Ordne beide Polynome nach ihren Hochzahlen (Exponenten) von groß nach klein.

• Lücken füllen: Fehlt eine Potenz (zum Beispiel x² in einer Reihe von x³ zu x), schreibe eine Null oder lasse den Platz frei. [1, 2, 3]

So führst du die Rechnung aus

• 1. Teilen: Nimm den ersten (höchsten) Teil des linken Terms und teile ihn durch den ersten Teil des rechten Terms.

• 2. Multiplizieren: Nimm dein neues Teilergebnis und malnehme es mit dem gesamten rechten Term.

• 3. Subtrahieren: Ziehe dieses Produkt von deinem Ausgangsterm ab. Passe gut auf die Vorzeichen auf!

• 4. Wiederholen: Ziehe das nächste Element von oben herunter und mache mit Schritt 1 weiter, bis kein Rest mehr da ist oder der Grad kleiner wird

Eine Menge ist die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten zu einem Ganzen. Die Objekte in einer Menge nennt man Elemente. Ist x ein Element der Menge M so schreibt man

x E M

(Sprich x ist Element von M oder x liegt in M); andernfalls schreibt man

x ¢ M

(Sprich x ist kein Element von M oder x liegt nicht in M)

(Brüche,p,q,EZ,q≠0)

Ergebnis bei +,-,x,: ist wieder eine rationale Zahl

Lücken in der Zahlengraden,z.b. fehlt eine rationale n Zahl,deren Quadrat 2 ist

(3,4,5,6)

(3;….;6)

(3,4,….15)= x EN | x liegt zwischen 2 und 16)

Leere Menge: ()

Addition: (a + b) + c = a + (b + c)

Multiplikation: (axb) x c = a x (bxc)

1. Ausmultiplizieren (Klammer auflösen): a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c

2. Mit Minuszeichen: a ⋅ (b - c) = a ⋅ b - a ⋅ c

3. Ausklammern (gemeinsamen Faktor suchen): a ⋅ b + a ⋅ c = a ⋅ (b + c)

4. Division: (a + b) : c = a : c + b : c (gilt nur für den geteilten Teil, den Divisor nicht) [1, 2]

1. Addition (+): a + b = b + a

   • Beispiel: 3 + 4 = 7 und 4 + 3 = 7 [1, 2, 3]

2. Multiplikation (⋅): a ⋅ b = b ⋅ a

   • Beispiel: 5 ⋅ 2 = 10 und 2 ⋅ 5 = 10 [1, 2]

<90°

90°

1.Klammern zuerst

2.Potenzen

3.Punkt vor Strich

4.Von links nach rechts

180°

<360°

<180°

360°

Die Polynomdivision ist ein mathematisches Rechenverfahren, bei dem ein Polynom durch ein anderes dividiert wird. Sie funktioniert im Prinzip genau wie das schriftliche Teilen in der Grundschule. Meistens wird sie genutzt, um die Nullstellen von Funktionen höheren Grades (ab Grad 3) zu berechnen.

Bei jeder Division wiederholst du immer wieder dieselben vier Schritte: [1]

1. Dividieren: Teile den ersten Term des linken Polynoms durch den ersten Term des rechten Polynoms.

2. Multiplizieren: Multipliziere das neue Teilergebnis mit dem gesamten rechten Polynom.

3. Subtrahieren: Ziehe das Ergebnis vom linken Polynom ab, um den Rest zu erhalten.

4. Herunterholen: Hole den nächsten Term des Polynoms nach unten und beginne von vorn

Umfang = 4·Seite → u = 4·a

Flächeninhalt = Seite ins Quadrat → G = a²

Diagonalenlänge = Seite mal Wurzel aus 2 → d = a·√2

Inkreisradius = halbe Seite → ri = a/2

Umkreisradius = Seite durch Wurzel 2 → ru = a / (√2)

u = 2·a + 2·b → Umfang = 2 mal Seite a + 2 mal Seite b

A = a·b → Flächeninhalt = Seite a mal Seite b

d = √(a2 + b2) → Diagonalenlänge = Wurzel aus (Seite a² + Seite b²)

ru = √(a2 + b2) / 2 = d/2 → Umkreisradius = Wurzel aus (Seite a² + Seite b²) durch 2