Wofür steht ℝ?
Reelle Zahlen ℝ sind alle Zahlen, die lückenlos auf der Zahlengeraden liegen.
Wofür steht ℚ?
ℚ steht für rationale Zahlen und meint Brüche, sowohl negativ als auch positiv.
Wofür steht ℤ?
ℤ steht für alle Ganzzahlen, positiv sowie negativ inkl. Null.
Wofür steht ℕ?
ℕ steht für natürliche Zahlen und meint alle positiven Ganzzahlen größer als Null.
Wofür steht ℕ₀?
ℕ₀ steht für natürliche Zahlen und meint alle positiven Ganzzahlen inklusive Null.
Wofür steht ℂ?
Komplexe Zahlen sind eine Erweiterung der reellen Zahlen, die es ermöglichen, Wurzeln aus negativen Zahlen zu ziehen.
Was ist Algebra?
Die Algebra ist eines der grundlegenden Teilgebiete der Mathematik. Sie erweitert das normale Rechnen mit festen Zahlen um Platzhalter und Variablen (wie x oder y), um allgemeine Rechenregeln und Zusammenhänge zu beschreiben.
Grundlagen der Algebra:
Rechnen mit Unbekannten: Zahlenwerte werden durch Buchstaben ersetzt, wenn sie noch nicht bekannt sind.
Terme und Formeln: Mathematische Ausdrücke werden aufgestellt, vereinfacht oder umgeformt (z. B. 3x + 4).
Gleichungen lösen: Das Ziel ist oft, den unbekannten Wert einer Variablen zu berechnen (z. B. x + 1 = 2, also x = 1)
Was ist das Assoziativgesetz?
Assoziativität (Verknüpfungsgesetz)
Betrifft die Reihenfolge, in der Berechnungen ausgeführt werden – bei reiner Addition oder reiner Multiplikation ist es egal, welche Ziffern zwei zuerst verrechnet werden.
(a + b) + c = a + (b + c)
(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)
Beispiel: (2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9
und 2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9
Merkhilfe: "Assoziieren" = zusammenfügen → Man darf die Zahlen nach belieben zusammenfügen
Was ist das Kommutativgesetz?
Kommutativität (Vertauschungsgesetz)
Betrifft die Reihenfolge der Zahlen – bei reiner Addition oder reiner Multiplikation darf sie vertauschen, ohne dass sich das Ergebnis ändert.
a + b = b + a
a * b = b * a
Beispiel: 3 + 7 = 10
und 7 + 3 = 10
Merkhilfe: "Kommutieren" = wechseln → Man darf die Position der Zahlen nach belieben wechseln.
Was bedeutet Transitivität?
In der Mathematik ist eine Relation (eine Beziehung zwischen Elementen) transitiv, wenn Folgendes gilt: Wenn das erste Element zum zweiten in Beziehung steht und das zweite zum dritten, dann steht auch das erste direkt zum dritten in Beziehung. Wenn also a zu b passt und b zu c passt, muss auch a zu c passen. Beispiel:
Wenn "a > b" ist und "b > c",
dann muss auch "a > c" sein
Nenne die 5 Regeln der Subtraktion
1. Minus und Plus → Minus
a - (+b) = a - b
2. Minus und Minus → Plus
a - (-b) = a + b
3. Minus vor einer Klammer: Vorzeichen aller Glieder in der Klammer werden umgedreht
a - (b + c - d) = a - b - c + d
4. Subtaktion ist nicht kommutativ: Die Reihenfolge ist der Berechnungen ist wichtig!
a - b ungleich b - a
5. Subtaktion ist nicht assoziativ: Klammern müssen bei mehrfacher Subtraktion beachtet werden
(a - b) - c ungleich a - (b - c)
Was sind obere und untere Gaußklammern?
Aufrundungsfunktion oder obere Gaußklammer
Abrundungsfunktion oder untere Gaußklammer
Wie stehen Distribuieren und Faktorisieren zueinander?
Distribuieren (das Ausmultiplizieren) und Faktorisieren (das Ausklammern) sind zueinander umgekehrte Rechenoperationen. Beide basieren auf demselben mathematischen Grundsatz, dem Distributivgesetz, werden aber in entgegengesetzte Richtungen angewendet.
Beispiel distribuieren:
3(2x - 5) = 6x - 15
Beispiel faktorisieren:
6x - 15 = 3(2x - 5)
Fasse die Vorzeichenregeln zusammen.
Gleiche Zeichen hintereinander werden zu Plus, unterschiedliche Zeichen zu Minus.
Wenn Plus- und Minuszeichen direkt hintereinanderstehen, fasst man sie so zusammen:
Plus und Plus wird zu Plus (3+ (+5) = 8)
Minus und Minus wird zu Plus (3 - (-5) = 8)
Plus und Minus wird zu Minus (3 + (-5) = -2)
Minus und Plus wird zu Minus (3 - (+5) = -2)
Beim Malnehmen oder Teilen von zwei Zahlen gilt:
Plus ⋅ Plus = Plus (+ ⋅ + = +)
Minus ⋅ Minus = Plus (- ⋅ - = +)
Plus ⋅ Minus = Minus (+ ⋅ - = -)
Minus ⋅ Plus = Minus (- ⋅ + = -)
Was bedeutet der Ausdruck |n|?
Bedeutung: Der Betrag gibt den Abstand einer Zahl von der 0 auf dem Zahlenstrahl an – unabhängig vom Vorzeichen. Das Ergebnis ist immer ≥ 0. Der Betrag "vergisst" das Vorzeichen und behält nur die Größe der Zahl. Beispiele:
|5| = 5 (5 ist bereits positiv)
|−5| = 5 (Vorzeichen wird "entfernt")
Wichtige Eigenschaften:
|n| ≥ 0 für alle n
|n| = |−n| (Betrag einer Zahl und ihrer Gegenzahl sind gleich)
|a − b| = |b − a| (Abstand zwischen zwei Zahlen ist symmetrisch)
|-6 + 3| = 3 (Vorzeichen innerhalb der | bleiben gültig)
Was bedeutet in der Mathematik "Distanz"?
Beispiel:
3 und 6
-2 und 7
-75 und 25
Die Distanz zweier Zahlen ist ihre Entfernung voneinander auf dem Zahlenstrahl.
3 und 6 = 3
-2 und 5 = 7
-75 und 25 = 100
Mit welchem Trick kann man Assoziativität und Kommutativität bei Subtraktion anwenden?
15 - 3 + 4 - 6
Sobald man Subtraktion als Addition (mit negativen Zahlen) schreibt, gelten wieder Assoziativität und Kommutativität (die bei reiner Subtraktion ja nicht galten). Deshalb darf man dann frei umgruppieren.
= 15 + (-3) + 4 + (-6)
= 15 + 4 + (-3) + (-6)
= 19 + (-9)
= 10
Wie erweitert man einen Bruch?
Einen Bruch kann man erweitern, indem man Zähler und Nenner mit dem selben Wert multipliziert.
Wie kürzt man einen Bruch?
Man kann einen Bruch kürzen, indem man Zähler und Nenner durch den selben Wert teilt, bzw. indem man einen gemeinsamen Faktor für Zähler und Nenner entfernt.
Wie addiert oder subtrahiert man Brüche?
Man bringt die Nenner der Brüche auf den selben Nenner:
Wie multipliziert man Brüche?
"Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner" – vor dem Ausmultiplizieren möglichst schon kürzen.
Wie dividiert man einen Bruch?
Division durch einen Bruch = Multiplikation mit dem Kehrwert.
Kann bei Bruchrechnung eine Definitionslücke auftreten?
Ja. Der Nenner darf nie 0 werden. Teilen durch 0 ist nicht möglich.
Das ist bei Bruchtermen mit Variablen immer als Definitionslücke zu prüfen.
Wann darf man Brüche kürzen?
(x² + 2x) / x
Grundregel: Man darf einen Bruch nur kürzen, wenn man Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilt – und zwar durch einen gemeinsamen Faktor. Kürzen funktioniert nur bei Multiplikation/Division, nicht bei Addition/Subtraktion.
(x² + 2x) / x = (x(x + 2))/x = x + 2
Hier durfte man kürzen, weil x nach dem Ausklammern ein gemeinsamer Faktor von Zähler und Nenner ist.
Hinweis: Die Kenntnis der binomischen Formeln kann beim Kürzen sehr nützlich sein. Also IMMER nach Anwendungsmöglichkeiten der binom. Formeln Ausschau halten!
Kürze den folgenden Bruch:
(x² - 9) / (x - 3)
Hier ist wichtig zu erkennen, dass im Zähler eine binomische Formel steht - und zwar die zweite:
(a - b)² = (a + b) * (a - b)
aus x² - 9 wird (x - 3)²
aus (x - 3)² wird (x + 3) * (x - 3)
so ergibt sich: ((x + 3) * (x - 3)) / (x - 3)
das (x - 3) kann man dann kürzen. Übrig als Endergebnis bleibt:
x + 3
Wie löst man folgenden Bruch:
a^2 / b^-1
a^2 / (1/b^1)
a^2 / (1/b)
a^2 / 1 : 1/b
a^2 /1 * b/1
a^2 * b
Der Trick besteht darin aus dem a^2 einen Bruch zu machen. Dann teilt man einen Bruch durch einen Bruch, was bedeutet, dass man den Kehrwert multipliziert.
Nenne die erste binomische Formel und leite diese her
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Herleitung:
(a + b)²
= (a + b) * (a + b)
= a ⋅ a + a ⋅ b + b ⋅ a + b ⋅ b
= a² + 2ab + b²
Nenne die zweite binomische Formel und leite diese her
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a - b)²
= (a - b) * (a - b)
= a ⋅ a - a ⋅ b - b ⋅ a + b ⋅ b
= a² - 2ab + b²
Nenne die dritte binomische Formel und leite diese her
(a + b) (a − b) = a² − b²
(a + b) (a − b)
= a² − ab + ab − b²
= a² − b²
Löse die folgende Gleichung nach dem 1. Potenzgesetz:
2^2 * 2^3
1. Potenzgesetz:
Gleiche Basis multiplizieren = Exponenten addieren
2^2 * 2^3 = 2^5
Löse die folgende Gleichung nach dem 2. Potenzgesetz:
2^2 / 2^3
2. Potenzgesetz:
Gleiche Basis dividieren = Exponenten subtrahieren
2^2 / 2^3 = 2^-1
Löse die folgende Gleichung nach dem 3. Potenzgesetz:
(2^2)^3
3. Potenzgesetz:
Potenz von Potenz = Exponenten multiplizieren
(2^2)^3 = 2^6
Löse die folgende Gleichung nach dem 4. Potenzgesetz:
2³ * 3³
4. Potenzgesetz:
Gleicher Exponent mit verschiedener Basis multiplizieren = Basen multiplizieren
2³ * 3³ = 6³
Löse die folgende Gleichung nach dem 5. Potenzgesetz:
2^-3
5. Potenzgesetz:
Negativer Exponent = Kehrwert mit positiven Exponenten bilden
2^-3 = 1/(2^3)
Löse die folgende Gleichung nach dem 6. Potenzgesetz:
2^0
6. Potenzgesetz:
Exponent ist 0 = Ergebnis ist 1
2^0 = 1
Forme nach dem 7. Potenzgesetz um:
2³ / 5³
Division mit gleichem Exponenten kann ausgeklammert werden:
(2 / 5)³
Forme nach dem 8. Potenzgesetz um:
2^(2/3)
Einen Bruch als Exponent man kann als Wurzel schreiben mit
Zähler = Potenz der Basis
Nenner = Grad der Wurzel
2^(2/3) = dritte Wurzel von 2²
Ist die Folgende Rechnung erlaubt?
(a + b)² = a² + b²
Potenzgesetze funktionieren bei Produkten/Quotienten, aber nicht einfach über Additionen oder Subtraktionen
(dafür braucht man z. B. die binomischen Formeln).
Schreibe den folgenden Term als Potenz:
n.Wurzel(a)
Man schreibt den Kehrwert der Wurzel als Exponent:
a^(1/n)
Was passiert, wenn man die Potenz einer negativen Zahl berechnet?
-2^4
(-2)^4
(-2)^3
-(2^4)
Ist der Exponent eine gerade Zahl, bekommt man ein positives Ergebnis.
Ist der Exponent eine ungerade Zahl, bekommt man ein negatives Ergebnis.
-2^4 = -16
(-2)^4 = 16
(-2)^3 = -8
-(2^4) = -16
Was ist 0^a?
Eine Basis 0 hoch n ist immer 0!
Beschreibe die Produktregel bei Wurzeln.
Beschreibe die Quotientenregel bei Wurzeln.
Beschreibe die Potenzregel bei Wurzeln
Wie kann man die Wurzel aus einer Wurzel vereinfachen?
Wie kann man eine Wurzelrechnung vereinfachen, in der zwei Wurzeln multipliziert werden mit gleichem Radikant?
Ist folgende Umformung bei Wurzeln erlaubt?
Wurzel(a + b) = Wurzel(a) + Wurzel(b)
Wurzeln dürfen nicht über Summen/Differenzen "verteilt" werden – nur über Produkte und Quotienten.
Woran muss man beim Ziehen von geraden Wurzeln in Gleichungen denken?
Bevor du eine Wurzel ziehst, muss der quadrierte Ausdruck alleine auf einer Seite stehen.
Beim Ziehen von geraden Wurzeln in Gleichungen muss daran gedacht werden ein ± zu setzen:
Kann man den Grad der Wurzel und einen Exponenten unterhalb der Wurzel gegeneinander kürzen?
Ja, da man jede Wurzel auch als gebrochenen Exponenten schreiben kann, um man diesen kürzen kann.
∛x⁶ = x²
Was ist teilweises Wurzelziehen?
Das Teilweise Wurzelziehen kann man nutzen indem man die Produktregel nutzt und dann Wurzelgrad und Exponenten gegeneinander kürzt:
√x⁵ = √x⁴ * √x = x² * √x
Kann es bei Wurzeln eine Definitionslücke geben?
Ja, bei geradem n (z. B. n = 2) muss a ≥ 0 sein, da es sonst im Reellen keine Lösung gibt.
Was ist √0?
Wurzel von Null ist Null.
Was ist ein Logarithmus?
Der Logarithmus ist die Umkehrung des Potenzierens – er beantwortet die Frage: "Mit welchem Exponenten muss ich die Basis potenzieren, um a zu erhalten?"
Welche Basis ist lg(a)?
lg(a) wird als Synonym für log10(a) verwendet
Welche Basis ist ld(a)?
ld(a) wird als Synonym für log2(a) verwendet
Welche Basis ist ln(a)?
natürlicher Logarithmus (Basis e ≈ 2,718)
Nenne die Produktregel für Logarithmen
Nenne die Quotientenregel für Logarithmen
Nenne die Potenzregel für Logarithmen
Was ist mit Basenwechsel bei Logarithmen gemeint?
Wie kürzt man Logarithmen aus Gleichungen?
log(x) = log(3) => x = 3
Was ist logb(1)?
Was ist logb(b)?
Ist folgende Umformung erlaubt?
logb(x + y) = logb(x) + logb(y)?
Nein, genau wie bei Wurzeln und Potenzen gilt: Die Gesetze funktionieren nur bei Produkten/Quotienten/Potenzen, nicht bei Summen.
Wann macht es Sinn Logarithmen zu verwenden?
Logarithmen lösen Exponentialgleichungen, bei denen die Variable im Exponenten steht, z. B.
Wie formt man folgende Gleichung um, sodass der log aus dem Exponenten kommt?
Was ist Ausklammern?
Ausklammern bedeutet, einen gemeinsamen Faktor aus mehreren Summanden herauszuziehen und die Summe so in ein Produkt umzuwandeln. Es ist die Umkehrung des Ausmultiplizierens (Distributivgesetz).
Klammere aus:
Man sucht den größten gemeinsamen Faktor (ggT) aller Summanden – das kann eine Zahl, eine Variable oder beides sein.
Der gemeinsame Faktor enthält jede Variable mit dem kleinsten vorkommenden Exponenten:
Klammert man ein Minuszeichen mit aus, drehen sich die Vorzeichen im Inneren der Klammer um:
Man bildet zwei Gruppen, klammert dort jeweils getrennt aus und findet dann einen gemeinsamen Klammerfaktor:
Wie kann man die Vorzeichen in der Klammer umdrehen?
(a - b)
(a - b) = -1(-a + b)
Was ist eine Ungleichung?
Eine Ungleichung vergleicht zwei Terme mit <, >, ≤ oder ≥ statt mit einem Gleichheitszeichen. Gesucht ist meist eine Lösungsmenge (ein Bereich von x-Werten), nicht ein einzelner Wert.
Wie funktioniert Addition/Subtraktion bei Ungleichungen?
Auf beiden Seiten darf beliebig addiert/subtrahiert werden – die Relation bleibt erhalten.
Wie funktioniert Multiplikation/Division mit positiven Werten bei Ungleichungen?
Ganz Normal. Relation bleibt erhalten.
Wie funktioniert Multiplikation/Division mit negativen Werten bei Ungleichungen?
Das Ungleichheitszeichen dreht sich um, wenn mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert wird.
Welcher Sonderfall tritt beim Umstellen folgender Ungleichung auf?
Man nicht einfach mit x multiplizieren, da unklar ist, ob x positiv oder negativ ist → Fallunterscheidung nötig, oder alles auf eine Seite bringen und Vorzeichen des Nenners untersuchen.
Hier nicht einfach die Wurzel ziehen wie bei Gleichungen – es entstehen zwei Fälle (x > √a oder x < −√a bei a ≥ 0).
Wie geht man mit Betragswerten in Ungleichungen um?
Warum ist 2 = (1/2)^-1
Weil (1/2)^-1 ist gleich 1 / (1/2)
Durch Brüche dividiert man, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.
1 * (2 / 1) = 2
Was sind nicht umkehrbare Rechenoperationen?
Nicht jede Operation lässt sich immer eindeutig umkehren. Zwei Fallen solltest du kennen:
Multiplikation mit 0: 7 · 0 = 0 und 3 · 0 = 0. Aus dem Ergebnis 0 kannst du nicht mehr erkennen, womit du gestartet bist. Deshalb darf man auch nicht durch 0 teilen.
Quadrieren: 3² = 9, aber auch (−3)² = 9. Die Wurzel √9 liefert nur +3. Wenn du x² = 9 löst, musst du deshalb an beide Lösungen denken: x = 3 oder x = −3.
Wie berechnet man den GGT?
Euklidischer Algorithmus
Du teilst die größere Zahl durch die kleinere mit Rest. Dann teilst du die kleinere Zahl durch den Rest, und so weiter, bis der Rest 0 ist. Der letzte Rest ungleich 0 ist der ggT.
48 : 36 = 1 Rest 12
36 : 12 = 3 Rest 0
Der letzte Rest ungleich 0 ist 12, also ggT = 12.
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