Vorlesung 1-2

1. Erfassung nicht direkt beobachtbarer Merkmale (Quantifizierung): Der Großteil der psychologischen Praxis besteht darin, abstrakte psychologische Eigenschaften oder Dispositionen (wie Intelligenz oder Ängstlichkeit) zu erfassen und diesen erfassten Merkmalen Zahlenwerte bzw. Quantitäten zuzuweisen.

2. Rückschluss vom beobachteten Verhalten (Manifeste Variablen) auf das zugrundeliegende Konstrukt (Latente Variablen): Da psychologische Merkmale nicht direkt messbar sind, ermöglichen psychologische Tests den Rückschluss von beobachtbarem Testverhalten auf eine nicht beobachtbare, dahinterliegende latente Variable. Eine Testtheorie liefert hierfür die grundlegenden mathematischen und logischen Annahmen.

3. Messmodelle (Reflexiv vs. Formativ):

   • Reflexive Messungen: Die Testaufgaben (Items) sind so konstruiert, dass die Antworten der Personen zu einem möglichst hohen Anteil durch die Ausprägung auf dem latenten Merkmal beeinflusst werden (im idealen Fall wird das Ergebnis nur von dieser einen latenten Variablen determiniert).

   • Formative Messungen: Hier verhält es sich umgekehrt – die einzelnen Itemantworten bilden gemeinsam die latente Variable.

4. Güte- und Fehlerkontrolle: Testtheorien (wie die Klassische Testtheorie oder die Item-Response-Theorie) bilden das wissenschaftliche Fundament, um die Qualität von Tests abzusichern, Messfehler zu quantifizieren, die Reliabilität (Zuverlässigkeit) zu bestimmen und über Vertrauensintervalle den wahren Wert einer Person abzuschätzen.

Die Item-Response-Theorie (IRT) als probabilistische Testtheorie bildet diese Annahmen über mathematische Modelle wie folgt ab:

• a) In Bezug auf das Item:

  • Fokus: Der Fokus der IRT liegt primär auf dem einzelnen Item (einer Aufgabe, Frage oder Fragestellung) und nicht global auf dem Gesamttest.

  • Abbildung: Die Item-Kennwerte (wie der Schwierigkeitsparameter $\sigma_i$) sind im Gegensatz zur Klassischen Testtheorie (KTT) weitgehend stichproben- und populationsunabhängig.

• b) In Bezug auf die Response (Antwort):

  • Fokus: Die IRT modelliert exakt das Zustandekommen einer Reaktion (Response) auf ein einzelnes Item.

  • Abbildung: Die beobachtete Antwort stellt eine manifeste Variable dar. Zwischen dieser manifesten Variable und der zugrundeliegenden latenten Variable besteht ein wahrscheinlicher beziehungsweise stochastischer Zusammenhang (kein deterministischer). Dieser wird über Funktionen wie die itemcharakteristische Funktion abgebildet.

• c) In Bezug auf das zu messende Merkmal:

  • Fokus: Es wird angenommen, dass den beobachteten Reaktionen eine nicht direkt beobachtbare, latente Eigenschaft (ein Personenparameter $\xi_v$ als Personenfähigkeit) zugrunde liegt.

  • Abbildung: Das menschliche Verhalten wird als Funktion von Person und Situation betrachtet ($V = f(P,U)$), wobei die Lösungswahrscheinlichkeit $P(X_{vi} = 1)$ probabilistisch als Funktion der Personenfähigkeit $\xi_v$ und der Itemschwierigkeit $\sigma_i$ modelliert wird.

1. Verlauf der itemcharakteristischen Kurven (ICCs):

   • Funktion: Die ICCs folgen einer kumulativ logistischen Funktion.

   • Form: Sie weisen einen ogiven- bzw. S-förmigen Verlauf auf.

   • Monotonie: Je höher die Fähigkeit einer Person ($\xi$) ist, desto höher ist die Wahrscheinlichkeit, eine richtige Lösung zu erreichen.

   • Asymptotik: Die Erfolgswahrscheinlichkeit nähert sich den Grenzen $0$ und $1$ asymptotisch an, berührt die x-Achse also niemals vollständig (die Wahrscheinlichkeit ist mathematisch nie exakt $0$ oder $1$).

2. Was ist an der ICC abzulesen?

   • Itemschwierigkeit ($\sigma$): Der Punkt auf der gemeinsamen Skala (Joint Scale), an dem die Lösungswahrscheinlichkeit exakt $0.5$ (50 %) beträgt, bildet den Wendepunkt der Funktion und entspricht dem Schwierigkeitsparameter $\sigma$ des Items. Hier ist die Differenz aus Personenfähigkeit und Itemschwierigkeit $\xi_v - \sigma_i = 0$.

   • Personenfähigkeit ($\xi$): Auf der x-Achse ist die Merkmalsausprägung der Versuchspersonen abgetragen.

   • Lösungswahrscheinlichkeit: Auf der y-Achse wird die Wahrscheinlichkeit für eine richtige ($X=1$) oder falsche ($X=0$) Antwort abgelesen.

   • Trennschärfe / Diskriminationsparameter ($\lambda$): Die Steigung im Wendepunkt zeigt an, wie eng der Zusammenhang zwischen der richtigen Beantwortung des Items und dem Personenmerkmal ist. Ein steiler Verlauf bedeutet eine sehr gute Trennung (hohe Trennschärfe) an dieser Stelle, ein flacher Verlauf eine geringere Trennung.

Ein Test, der den strengen Anforderungen des dichotomen Rasch-Modells (als speziellem 1-Parameter-Logistischen Modell bzw. 1-PL-Modell) genügt, zeichnet sich durch folgende Merkmale aus:

• Parallele ICCs (Gleiche Diskrimination): Alle Items besitzen per Modellvorgabe denselben Diskriminationsparameter ($\lambda$ wird künstlich auf $1$ gesetzt). Dadurch verlaufen die itemcharakteristischen Kurven aller Items parallel zueinander und unterscheiden sich ausschließlich in ihrer Lage auf der x-Achse (ihrem Schwierigkeitsparameter $\sigma_i$).

• Lokale stochastische Unabhängigkeit: Die Items sind in Bezug auf das Konstrukt homogen (Itemhomogenität). Das bedeutet, dass nach Kontrollierung der Personenfähigkeit (also innerhalb homogener Personengruppen mit exakt demselben Personenparameter $\xi$) keinerlei Restkorrelationen bzw. Abhängigkeiten mehr zwischen den Itemantworten bestehen dürfen. Die Antworten werden allein durch das latente Konstrukt bestimmt.

• Spezifische Objektivität: Durch die Parallelität der ICCs ist das Modell frei von bestimmten Stichprobeneinflüssen. Das bedeutet:

  • Der Vergleich zwischen Personen ($\xi_w - \xi_v$) kann unabhängig davon vorgenommen werden, welche konkreten Items des Tests bearbeitet wurden.

  • Der Vergleich zwischen Items ($\sigma_j - \sigma_k$) kann unabhängig von den spezifischen Personenparametern der untersuchten Stichprobe bestimmt werden (Stichprobenunabhängigkeit der Itemparameter).

• Erschöpfende Statistiken: Dank der Modellgültigkeit stellen die Zeilenrandsummen (die Summe der gelösten Items einer Person) sogenannte erschöpfende Statistiken dar. Das rechtfertigt mathematisch erst die gängige Praxis, die Anzahl richtiger Antworten als einfachen Test- bzw. Skalenwert zu addieren.

1. Bedeutung der Itemhomogenität:

   • Definition: Itemhomogenität bedeutet, dass die Testaufgaben (Items) hoch miteinander korrelieren und alle dasselbe zugrundeliegende Konstrukt (die latente Variable, z. B. Wortverständnis oder Intelligenz) messen.

   • Diagnostischer Sinn: Wenn Items homogen sind, fungieren sie alle als reine Indikatoren für dasselbe Merkmal. Dies stellt sicher, dass der errechnete Gesamtwert einer Person inhaltlich eindeutig interpretierbar ist und nicht durch unterschiedliche, unkontrollierte Dimensionen verzerrt wird.

2. Bedeutung des Nebengütekriteriums der Skalierung:

   • Ein Test erfüllt das Nebengütekriterium der Skalierung, wenn die nach einer bestimmten Verrechnungsregel resultierenden Testwerte (z. B. Summenscores) die empirischen Merkmalsrelationen der Personen adäquat abbilden.

   • Nur bei gegebener Homogenität ist mathematisch und psychologisch gerechtfertigt, die Anzahl richtig gelöster Items einfach zu einem einzigen Skalenwert zu addieren.

3. Einschränkungen bei fehlender Homogenität:

   • Liegt keine Homogenität vor, messen die Items unterschiedliche Dinge (oder es fließen unabsichtlich Störvariablen wie spezifisches Zusatzwissen ein).

   • Folgen für die Interpretation: Der Testwert verliert seine eindeutige Bedeutung. Man kann nicht mehr sicher sagen, ob ein hoher Testwert auf eine hohe Ausprägung im gesuchten Merkmal zurückzuführen ist oder ob andere, unerwünschte Einflüsse das Ergebnis dominiert haben. Eine valide psychologische Diagnostik (z. B. die Einordnung in Leistungsklassen oder Diagnosen) wird dadurch unmöglich oder stark fehlerbehaftet.

1. Der Zusammenhang von stochastischer Unabhängigkeit und Homogenität:

   • Wenn das Modell der lokalen stochastischen Unabhängigkeit erfüllt ist, bedeutet dies, dass die Items innerhalb homogener Personengruppen (also bei Personen mit exakt derselben Merkmalsausprägung bzw. demselben Personenparameter $\xi$) nicht mehr miteinander korrelieren dürfen. Die Antworten auf die einzelnen Items sind bedingt unabhängig voneinander.

2. Rückschluss auf das gemeinsame Konstrukt:

   • Die Korrelationen, die man in der Gesamtstichprobe zwischen den Items beobachtet, werden in diesem Fall ausschließlich durch das dahinterliegende latente Konstrukt (die Personenfähigkeit) erzeugt.

   • Gibt es darüber hinaus keine Restkorrelationen auf lokaler Ebene, ist damit nachgewiesen, dass die Items keine multidimensionalen Störquellen oder ungeklärte Nebenstrukturen aufweisen. Sie messen gemeinsam eindimensional dasselbe Merkmal – und genau das definiert die Itemhomogenität.

1. Die mathematische und grafische Voraussetzung des Rasch-Modells:

   • Im dichotomen Rasch-Modell (als speziellem probabilistischen 1-PL-Modell) wird verlangt, dass alle itemcharakteristischen Kurven (ICCs) exakt dieselbe Steigung aufweisen (der Diskriminationsparameter $\lambda$ wird künstlich auf $1$ gesetzt) und daher vollkommen parallel zueinander verlaufen.

2. Verhinderung von Modellverletzungen durch Störvariablen:

   • Würde keine lokale stochastische Unabhängigkeit vorliegen, hängen die Itemantworten nicht nur von der Personenfähigkeit und der Itemschwierigkeit ab, sondern es gäbe versteckte Abhängigkeiten zwischen den Aufgaben (z. B. weil manche Items durch eine zusätzliche, unkontrollierte Störvariable oder ein Nebengebiet miteinander verknüpft sind).

   • Diese zusätzlichen Abhängigkeiten würden dazu führen, dass die ICCs unterschiedliche Steigungen annehmen, sich kreuzen oder den empirischen Daten widersprechen.

3. Sicherstellung der spezifischen Objektivität:

   • Nur wenn die lokale stochastische Unabhängigkeit gegeben ist und die ICCs sauber parallel verlaufen, greift die spezifische Objektivität. Das garantiert, dass Personvergleiche unabhängig von der Itemwahl und Itemvergleiche unabhängig von der Personenstichprobe gültig sind. Ohne lokale stochastische Unabhängigkeit würde das gesamte mathematische Gerüst des Rasch-Modells in sich zusammenfallen, da die Grundannahme der Eindimensionalität verletzt wäre.