Die Verteilung der Größe von Städten

= stilisierte Verteilung der Größe von Städten (verwandt mit Rang-Größe Regel)

• Ist die Verteilung von Städten überall ähnlich

• verändert sie sich nicht über die Zeit

• sollte ein genereller statistischer Prozess dahinterstehen

= mathematische Formel zur Berechnung der Größenverteilung von Städten innerhalb eines annähernd ausgewogenen Städtesystems.

die n-größte Stadt hat demnach 1/n der Einwohnerzahl der größten Stadt im System

• Erste Formulierung durch Felix Auerbach im Jahr 1913

• Linguist George Zipf findet die gleiche Verteilung von Worten im Sprachgebrauch.

  • Die drei häufigsten Worte im Englischen sind „the“, „of“ und „and“, 7, 3.5 und 2.8 Prozent der benutzten Wörter

  • Im Deutschen „der“, „die“ und „und

• Ebenfalls sind so verteilt: Firmengrößen, Einkommen, die Größe von Flüssen, Ländern, Besuche auf Internetseiten, Erdbeben, Familiennamen

• Die Vermutung eines einfachen statistischen Gesetzes liegt nahe

• Zipf versuchte Effizienzgesetze zu finden

• Aktive Diskussion zu zufällig generierten Sprachen

• Maße für die Größe von Städten:

  • MSA (Metropolitan Statistical Area)

  • Selbst deklarierter Status

  • Nachtlichter

  • Administrative Grenzen

  • Unregelmäßige Flächen (Länder, NUTS)

  • Regelmäßige Flächen (Schachbrettraster)

• Zipf’s Gesetz scheint robust zu verschiedenen Variablen

• In der Praxis ist Vergleichbarkeit entscheidend

• Eaton und Eckstein (1997): Japan und Frankreich für viele Jahrzehnte

• Giesen und Suedekum (2010): Deutschland, Deutsche Regionen.

• Gabaix (2002): USA

• De Vries (1984): Historisches Europa

• Bowman, Wilson (2009): Römisches Reich

• Holmes und Lee (2010): 6 x 6 Meilen Raster in den USA

• Rauch und Sturm (nie veröffentlicht): Deutsche Teilung

• Pareto nicht die beste Verteilung (Sheppard)

• Generell hält es nicht („großes n“, Henderson, Eeckhout)

• Soo (2004) testet Zipf für 73 Länder und verwirft 53 mal

  • Meistens aber knapp

  • Zufällige Kreise versus Länder?

• Nitsch (2005) meta Studie: 515 Schätzungen von 29 Papieren. Bellkurve mit Masse nahe an -1. Aggregierter Koeffizient ist -1.1 statt -1. Statistisch kann die -1 verworfen werden.

OLS (Methode der kleinsten Quadrate) ist wahrscheinlich verzerrt (Ioannides und Gabaix 2003)

• Simulation mit 100 Zufallsvariablen ui aus einer Gleichverteilung [0,1], Größen Si = 1 / ui

• Schätzer 𝛽 ist zu nahe an Null

• Standardfehler zu groß bei Faktor 10

• Gründe:

  • Asymmetrische Ausreißer

  • Autokorrelierte Standardfehler

• Stochastisches Modell

• Stadtbevölkerung wächst durch diskrete Schritte

• Wahrscheinlichkeit zu wachsen ist größer für größere Städte

• Es folgt Pareto Verteilung

• Wird zu Zipf wenn keine neuen Städte entstehen können

• Was sind diese diskreten Schritte?

• Konvergiert nicht, am Ende sind alle Städte unendlich

• Städte haben hier keine Eigenschaften

• Verbesserung von Simon mit Ideen ähnlich dem Romer Modell

• Stadtbevölkerung ist proportional zu Gütervielfalt

• Innovation ist auch proportional zu Bevölkerung

• Diskrete Innovation ist Innovation proportional zu Bevölkerung

• „Superstruktur“ zu Simon

• Verteilung der ganzen USA unter Verwendung der kleinstmöglichen Zensus Einheiten (mcd)

• Verteilung ist log – normal

  • Konsistent mit Gibrats Gesetz

  • Log – normal ist generell leicht zu erklären, siehe zentraler Grenzwertsatz

• Ist der rechte Teil einer log – normal ähnlich wie eine Pareto?

• Gibrats Gesetz hat empirische Evidenz

Das relative Wachstum einer Größe (Stadt) ist unabhängig von der Niveaugröße selbst.

Zipf wird oft auf Gibrat zurückgeführt.